Cara Menyelesaikan Persamaan Trigonometri dan Contoh Soal

         Materi yang akan kita pelajari kali ini adalah Penyelesaian Persamaan Trigonometri. Persamaan trigonometri merupakan suatu materi dalam bentuk persamaan yang melibatkan bentuk trigonometri. Penyelesaian dari persamaan trigonometri adalah besarnya sudut yang diperoleh dimana sudut tersebut memenuhi persamaan yang ada. Untuk memudahkan, silahkan juga baca materi “Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi“, dan materi trigonometri lainnya.

Penyelesaian Persamaan Trigonometri untuk Sinus, Cosinus, dan Tan

       Berikut penyelesaian persamaan trigonometrinya :
$clubsuit $ Persamaan Sinus : $ sin f(x) = sin theta , $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = theta + k . 2 pi , $ dan $ , f(x) = (180^circ – theta ) + k . 2 pi $

$clubsuit $ Persamaan Cosinus : $ cos f(x) = cos theta , $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = theta + k . 2 pi , $ dan $ , f(x) = – theta + k . 2 pi $

$clubsuit $ Persamaan Tan : $ tan f(x) = tan theta , $ memiliki penyelesaian :
$ f(x) = theta + k . pi , $

dengan nilai $ pi = 180^circ , $ dan $ k , $ adalah bilangan bulat.

Catatan :
*). Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, persamaan harus kita ubah dulu seperti bentuk di atas.
*). Dari bentuk penyelesaian persamaan trigonometri di atas, dapat disimpulkan bahwa penyelesaiannya banyak sekali (tak hingga). Tapi tenang saja, biasanya solusinya hanya diminta dalam rentang atau interval tertentu saja. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.
*). Jika bentuk persamaannya selain bentuk umum di atas, selesaikan dulu persamaannya sehingga diperoleh nilai salah satu trigonometri , misalkan nilai sin atau cos atau tan, kemudian gunakan penyelesaian di atas untuk menemukan solusi yang lainnya. Salah satu caranya adalah dengan memisalkan persamaan yang ada atau langsung difaktorkan.

Contoh :
1). Tentukan nilai $ x , $ yang memenuhi persamaan trigonometri berikut untuk interval $ 0 leq x leq 360^circ $
a). $ sin 2 x – frac{1}{2} = 0 $
b). $ cos x – frac{1}{2} sqrt{3} = 0 $
c). $ tan 3x + sqrt{3} = 0 $
Penyelesaian :
a). Persamaannya : $ sin 2 x – frac{1}{2} = 0 $
*). Mengubah persamaan ,
$ sin 2 x – frac{1}{2} = 0 rightarrow sin 2x = frac{1}{2} rightarrow sin 2x = sin 30^circ $
Artinya diperoleh : $ f(x) = 2x , $ dan $ theta = 30^circ $
*). Menentukan penyelesaian sinus :
Pertama : $ f(x) = theta + k . 2 pi rightarrow f(x) = theta + k times 360^circ $
$ begin{align} f(x) & = theta + k times 360^circ \ 2x & = 30^circ + k times 360^circ , , , , text{(bagi 2)} \ x & = 15^circ + k times 180^circ \ k = -1 rightarrow x & = 15^circ + (-1) times 180^circ \ & = 15^circ – 180^circ \ & = -165^circ , , , , text{(tidak memenuhi interval)} \ k = 0 rightarrow x & = 15^circ + 0 times 180^circ \ & = 15^circ + 0 \ & = 15^circ , , , , text{(memenuhi interval)} \ k = 1 rightarrow x & = 15^circ + 1 times 180^circ \ & = 15^circ + 180^circ \ & = 195^circ , , , , text{(memenuhi interval)} \ k = 2 rightarrow x & = 15^circ + 2 times 180^circ \ & = 15^circ + 360^circ \ & = 375^circ , , , , text{(tidak memenuhi interval)} end{align} $
Solusi pertama diperoleh : $ { 15^circ , , 195^circ } $
Kedua : $ f(x) = (180^circ – theta ) + k . 2 pi rightarrow f(x) = (180^circ – theta ) + k times 360^circ $
$ begin{align} f(x) & = (180^circ – theta ) + k times 360^circ \ f(x) & = (180^circ – 30^circ ) + k times 360^circ \ 2x & = 150^circ + k times 360^circ , , , , text{(bagi 2)} \ x & = 75^circ + k times 180^circ \ k = -1 rightarrow x & = 75^circ + (-1) times 180^circ \ & = 75^circ – 180^circ \ & = -105^circ , , , , text{(tidak memenuhi interval)} \ k = 0 rightarrow x & = 75^circ + 0 times 180^circ \ & = 75^circ + 0 \ & = 75^circ , , , , text{(memenuhi interval)} \ k = 1 rightarrow x & = 75^circ + 1 times 180^circ \ & = 75^circ + 180^circ \ & = 255^circ , , , , text{(memenuhi interval)} \ k = 2 rightarrow x & = 75^circ + 2 times 180^circ \ & = 75^circ + 360^circ \ & = 435^circ , , , , text{(tidak memenuhi interval)} end{align} $
Solusi kedua diperoleh : $ { 75^circ , , 255^circ } $
Jadi, penyelesaian nilai $ x , $ adalah $ { 15^circ , , 75^circ, , 195^circ, , 255^circ } $

Baca juga  Contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri 1

b). Persamaannya : $ cos x – frac{1}{2} sqrt{3} = 0 $
*). Mengubah persamaan ,
$ cos x – frac{1}{2} sqrt{3} = 0 rightarrow cos x = frac{1}{2} sqrt{3} rightarrow cos x = cos 30^circ $
Artinya diperoleh : $ f(x) = x , $ dan $ theta = 30^circ $
*). Menentukan penyelesaian cosinus :
Pertama : $ f(x) = theta + k . 2 pi rightarrow f(x) = theta + k times 360^circ $
$ begin{align} f(x) & = theta + k times 360^circ \ x & = 30^circ + k times 360^circ \ k = -1 rightarrow x & = 30^circ + (-1) times 360^circ \ & = 30^circ – 360^circ \ & = -330^circ , , , , text{(tidak memenuhi interval)} \ k = 0 rightarrow x & = 30^circ + 0 times 360^circ \ & = 30^circ + 0 \ & = 30^circ , , , , text{(memenuhi interval)} \ k = 1 rightarrow x & = 30^circ + 1 times 360^circ \ & = 30^circ + 360^circ \ & = 390^circ , , , , text{(tidak memenuhi interval)} end{align} $
Solusi pertama diperoleh : $ { 30^circ } $
Kedua : $ f(x) = – theta + k . 2 pi rightarrow f(x) = – theta + k times 360^circ $
$ begin{align} f(x) & = -theta + k times 360^circ \ x & = -30^circ + k times 360^circ \ k = -1 rightarrow x & = -30^circ + (-1) times 360^circ \ & = -30^circ – 360^circ \ & = -390^circ , , , , text{(tidak memenuhi interval)} \ k = 0 rightarrow x & = -30^circ + 0 times 360^circ \ & = -30^circ + 0 \ & = -30^circ , , , , text{(tidak memenuhi interval)} \ k = 1 rightarrow x & = -30^circ + 1 times 360^circ \ & = -30^circ + 360^circ \ & = 330^circ , , , , text{(memenuhi interval)} end{align} $
Solusi kedua diperoleh : $ { 330^circ } $
Jadi, penyelesaian nilai $ x , $ adalah $ { 30^circ , , 330^circ } $

c). Persamaannya : $ tan 3x + sqrt{3} = 0 $
*). Mengubah persamaan ,
$ tan 3x + sqrt{3} = 0 rightarrow tan 3x = – sqrt{3} rightarrow tan 3x = tan 120^circ $
Artinya diperoleh : $ f(x) = 3x , $ dan $ theta = 120^circ $
*). Menentukan penyelesaian Tan :
Solusinya :$ f(x) = theta + k . pi rightarrow f(x) = theta + k times 180^circ $
$ begin{align} f(x) & = theta + k times 180^circ \ 3x & = 120^circ + k times 180^circ , , , , , text{(bagi 3)} \ x & = 40^circ + k times 60^circ \ k = -1 rightarrow x & = 40^circ + (-1) times 60^circ \ & = 40^circ – 60^circ \ & = -20^circ , , , , text{(tidak memenuhi interval)} \ k = 0 rightarrow x & = 40^circ + 0 times 60^circ \ & = 40^circ + 0 \ & = 40^circ , , , , text{(memenuhi interval)} \ k = 1 rightarrow x & = 40^circ + (1) times 60^circ \ & = 40^circ + 60^circ \ & = 100^circ , , , , text{(memenuhi interval)} \ k = 2 rightarrow x & = 40^circ + 2 times 60^circ \ & = 40^circ + 120^circ \ & = 160^circ , , , , text{(memenuhi interval)} \ k = 3 rightarrow x & = 40^circ + 3 times 60^circ \ & = 40^circ + 180^circ \ & = 220^circ , , , , text{(memenuhi interval)} \ k = 4 rightarrow x & = 40^circ + 4 times 60^circ \ & = 40^circ + 240^circ \ & = 280^circ , , , , text{(memenuhi interval)} \ k = 5 rightarrow x & = 40^circ + 5 times 60^circ \ & = 40^circ + 300^circ \ & = 340^circ , , , , text{(memenuhi interval)} \ k = 6 rightarrow x & = 40^circ + 6 times 60^circ \ & = 40^circ + 360^circ \ & = 400^circ , , , , text{(tidak memenuhi interval)} end{align} $
Jadi, nilai $ x , $ adalah $ { 40^circ , 100^circ , 160^circ , 220^circ , 280^circ , 340^circ } $

Baca juga  Soal dan Pembahasan Persamaan Trigonometri 180304

2). Himpunan semua peubah $ x , $ dalam selang $ 0 leq x leq 2pi , $ yang memenuhi $ 2cos ^2 x = 3sin x + 3 $ ?
Penyelesaian :
*). Bentuk persamaannya tidak umum, sehingga harus diselesaikan dulu.
*). Gunakan identitas untuk menyamakan trigonometrinya yaitu :
$ sin ^2 x + cos ^2 x = 1 rightarrow cos ^2 x = 1 – sin ^2 x $
*). Menentukan nilai sin dengan memfaktorkan :
$ begin{align} 2cos ^2 x & = 3sin x + 3 \ 2( 1 – sin ^2 x ) & = 3sin x + 3 \ 2 – 2 sin ^2 x & = 3sin x + 3 \ 2 sin ^2 x + 3sin x + 1 & = 0 \ (2 sin x + 1) ( sin x + 1) & = 0 \ (2 sin x 1) = 0 vee ( sin x + 1) & = 0 \ sin x = – frac{1}{2} vee sin x & = -1 end{align} $
*). Disini kita langsung menentukan besar sudut yang memenuhi persamaan :
$ sin x = – frac{1}{2} rightarrow x = 210^circ = frac{7pi}{6} , , x = 330^circ = frac{11pi}{6} $
$ sin x = – 1 rightarrow x = 270^circ = frac{3pi}{2} $
Jadi, nilai $ x , $ yang memenuhi adalah $ { frac{7pi}{6} , , frac{7pi}{6} , , frac{11pi}{6} } $

Mengubah bentuk $ a sin f(x) + b cos f(x) $

       Bentuk $ a sin f(x) + b cos f(x) , $ dapat diubah menjadi bentuk :

$ a sin f(x) + b cos f(x) = k cos left( f(x) – theta right) $

dengan : $ k = sqrt{a^2 + b^2 } , $ dan $ tan theta = frac{text{koefisien } sin }{ text{koefisien } cos } = frac{a}{b} $
dan syaratnya adalah kedua sudut sinus dan cosinus.

Contoh :
3). Ubahlah bentuk berikut menjadi bentuk sederhanan :
a). $ sin x + sqrt{3} cos x $
b). $ 2sqrt{3} sin (5x) – 2 cos (5x ) $
Penyelesaian :
a). Bentuk $ sin x + sqrt{3} cos x = k cos ( x – theta ) $
artinya : $ a = 1 , $ dan $ b = sqrt{3} $
sehingga nilai : $ k = sqrt{a^2 + b^2 } = sqrt{1^2 + (sqrt{3})^2 } = sqrt{1 + 3} = 2 $
Sudutnya : $ tan theta = frac{a}{b} rightarrow tan theta = frac{1}{sqrt{3}} rightarrow theta = 30 ^circ $
Diperoleh bentuk sederhananya :
$ sin x + sqrt{3} cos x = k cos ( x – theta ) rightarrow sin x + sqrt{3} cos x = 2 cos ( x – 30 ^circ ) $
Jadi, bentuk sederhana dari $ sin x + sqrt{3} cos x , $ adalah $ 2 cos ( x – 30 ^circ ) $

b). Bentuk $ 2sqrt{3} sin (5x) – 2 cos (5x ) = k cos ( 5x – theta ) $
artinya : $ a = 2sqrt{3} , $ dan $ b = – 2 $
sehingga nilai : $ k = sqrt{a^2 + b^2 } = sqrt{(2sqrt{3})^2 + (- 2)^2 } = sqrt{12 + 4} = 4 $
Sudutnya : $ tan theta = frac{a}{b} rightarrow tan theta = frac{ 2sqrt{3}}{- 2} = -sqrt{3} rightarrow theta = 120 ^circ $
Diperoleh bentuk sederhananya :
$ 2sqrt{3} sin (5x) – 2 cos (5x ) = k cos ( 5x – theta ) rightarrow 2sqrt{3} sin (5x) – 2 cos (5x ) = 4 cos ( 5x – 120 ^circ ) $
Jadi, bentuk sederhana dari $ 2sqrt{3} sin (5x) – 2 cos (5x ) , $ adalah $ 4 cos ( 5x – 120 ^circ ) $

Baca juga  Sudut Elevasi dan Sudut Depresi

4). Tentukan nilai $ x , $ yang memenuhi persamaan $ sin x – cos x = 1 , $ untuk $ x , $ pada interval $ 0 leq x leq 360^circ $ ?
Penyelesaian :
*). Menyederhanakan bentuk ruas kiri dari persamaan : $ sin x – cos x = 1 $
$ sin x – cos x = k cos (x – theta ) , , $ artinya $ a = 1 , $ dan $ b = -1 $
Nilai $ k = sqrt{a^2 + b^2 } = sqrt{1^2 + (-1)^2 } = sqrt{1 + 1} = sqrt{2} $
Sudutnya : $ tan theta = frac{a}{b} rightarrow tan theta = frac{ 1}{- 1} = -1 rightarrow theta = 135 ^circ $
Diperoleh bentuk sederhananya :
$ sin x – cos x = k cos (x – theta ) rightarrow sin x – cos x = sqrt{2} cos (x – 135 ^circ ) $
*). Persamaannya menjadi : $ sin x – cos x = 1 rightarrow sqrt{2} cos (x – 135 ^circ ) = 1 $
*). Menyelesaikan pertidaksamaan :
$ sqrt{2} cos (x – 135 ^circ ) = 1 rightarrow cos (x – 135 ^circ ) = frac{1}{sqrt{2}} rightarrow cos (x – 135 ^circ ) = cos 45^circ $
Artinya : $ f(x) = x – 135 ^circ , $ dan $ theta = 45^circ $
*). Menentukan penyelesaian cosinus :
Pertama : $ f(x) = theta + k . 2 pi rightarrow f(x) = theta + k times 360^circ $
$ begin{align} f(x) & = theta + k times 360^circ \ x – 135 ^circ & = 45^circ + k times 360^circ \ x & = 180^circ + k times 360^circ \ k = -1 rightarrow x & = 180^circ + (-1) times 360^circ \ & = 180^circ – 360^circ \ & = -180^circ , , , , text{(tidak memenuhi interval)} \ k = 0 rightarrow x & = 180^circ + 0 times 360^circ \ & = 180^circ + 0 \ & = 180^circ , , , , text{(memenuhi interval)} \ k = 1 rightarrow x & = 180^circ + 1 times 360^circ \ & = 180^circ + 360^circ \ & = 540^circ , , , , text{(tidak memenuhi interval)} end{align} $
Solusi pertama diperoleh : $ { 180^circ } $
Kedua : $ f(x) = – theta + k . 2 pi rightarrow f(x) = – theta + k times 360^circ $
$ begin{align} f(x) & = -theta + k times 360^circ \ x – 135 ^circ & = -45^circ + k times 360^circ \ x & = 90^circ + k times 360^circ \ k = -1 rightarrow x & = 90^circ + (-1) times 360^circ \ & = 90^circ – 360^circ \ & = -270^circ , , , , text{(tidak memenuhi interval)} \ k = 0 rightarrow x & = 90^circ + 0 times 360^circ \ & = 90^circ + 0 \ & = 90^circ , , , , text{(memenuhi interval)} \ k = 1 rightarrow x & = 90^circ + 1 times 360^circ \ & = 90^circ + 360^circ \ & = 550^circ , , , , text{(tidak memenuhi interval)} end{align} $
Solusi kedua diperoleh : $ { 90^circ } $
Jadi, penyelesaian nilai $ x , $ adalah $ { 90^circ , , 180^circ } $

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *