Cara Pembuktian Sifat-sifat Limit Fungsi Trigonometri

         Sebelumnya telah di poskan materi “penyelesaian limit fungsi trigonometri” dengan menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri. Kali ini kita akan pelajari Pembuktian Sifat-sifat Limit Fungsi Trigonometri yang sangat berguna pada limit fungsi trigonometri.

         Pembuktian Sifat-sifat Limit Fungsi Trigonometri sangat penting bagi kita, karena jika sifat-sifat limit fungsi trigonometri tersebut tidak benar maka hasil limit fungsi trigonometrinya juga tidak akan benar, sehingga kita pastikan sifat-sifat tersebut benar dengan cara membuktikannya. Untuk pembuktiannya memang tidak mudah karena rumusnya berkaitan langsung dengan rumus-rumus trigonometri, tapi rumus-rumus yang dibutuhkan sudah kami daftarkan di artikel ini. Semoga pembuktian sifat-sifat limit fungsi aljabar ini bisa bermanfaat bagi kita dalam mempelajari limit fungsi trigonometri.

Teori-teori yang dibutuhkan dalam pembuktian

       Berikut beberapa teori yang dibuthkan dalam pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri :

$ spadesuit $ Teorema Apit
Misalkan $ f, g, , $ dan $ h , $ fungsi yang terdefinisi pada interval terbuka $ I $ yang memuat $ a , $ kecuali mungkin di $ a , $ itu sendiri, sehingga $ f(x) leq g(x) leq h(x) , $ untuk setiap $ x in I , , x neq a . , $ Jika $ displaystyle lim_{x to a } f(x) = displaystyle lim_{x to a } h(x) = L , , $ maka $ displaystyle lim_{x to a } g(x) = L $ .
Atau penulisannya :
$ begin{align} displaystyle lim_{x to a } f(x) leq & displaystyle lim_{x to a } g(x) leq displaystyle lim_{x to a } h(x) \ L leq & displaystyle lim_{x to a } g(x) leq L end{align} $
Artinya nilai $ displaystyle lim_{x to a } g(x) = L $

$ spadesuit $ Luas Segitiga
Luas segitiga $ = frac{1}{2} times , $ alas $ , times , $ tinggi .

$ spadesuit $ Luas Juring lingkaran :
Luas juring AOB $ = frac{angle AOB}{2pi } . pi r^2 = frac{1}{2} . angle AOB . r^2 $

Pembuktian Sifat-sifat limit fungsi Trigonometri

Perhatikan gambar berikut :

*). Perhatikan segitiga BOC : $ angle BOC = x $
$ sin x = frac{BC}{OB} rightarrow sin x = frac{BC}{r} rightarrow BC = r sin x $
$ cos x = frac{OC}{OB} rightarrow cos x = frac{OC}{r} rightarrow OC = r cos x $
*). Perhatikan segitiga AOB : $ angle AOD = x $
$ tan x = frac{AD}{OA} rightarrow tan x = frac{AD}{r} rightarrow AD = r tan x $
*). Kita hitung luas segitiga BOC, Luas juring AOB, dan luas segitiga AOD
$ begin{align} text{Luas BOC } = frac{1}{2} . OC . BC = frac{1}{2}. r cos x . r sin x = frac{1}{2}r^2 cos x sin x end{align} $
$ begin{align} text{Luas juring AOB } = frac{1}{2} . angle AOB . r^2 = frac{1}{2} x r^2 end{align} $
$ begin{align} text{Luas AOD } = frac{1}{2} . OA . AD = frac{1}{2}. r . r tan x = frac{1}{2} r^2 tan x end{align} $

Baca juga  Soal-Pembahasaan Limit Trigonometri dengan Penjumlahan

*). Pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri :
Dari gambar di atas terlihat bahwa luas segitiga BOC lebih kecil dari luas juring AOB dan keduanya lebih kecil dari luas segitiga AOD.

$ begin{align} text{Luas BOC } < , & text{ Luas juring AOB } < , text{ Luas AOD } \ frac{1}{2}r^2 cos x sin x < , & frac{1}{2} x r^2 < frac{1}{2} r^2 tan x , , , , text{ (bagi } frac{1}{2}r^2 ) \ frac{frac{1}{2}r^2 cos x sin x }{frac{1}{2}r^2} < , & frac{frac{1}{2} x r^2 }{frac{1}{2}r^2} < frac{ frac{1}{2} r^2 tan x }{frac{1}{2}r^2} \ cos x sin x < , & x < tan x , , , , , text{….pers(i)} \ cos x sin x < , & x < tan x , , , , , text{(bagi } sin x ) \ frac{cos x sin x }{sin x} < , & frac{ x }{sin x} < frac{ tan x }{sin x } \ cos x < , & frac{ x }{sin x} < frac{ frac{sin x}{cos x} }{sin x } \ cos x < , & frac{ x }{sin x} < frac{1}{cos x} \ displaystyle lim_{x to 0 } cos x < , & displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{sin x} < displaystyle lim_{x to 0 } frac{1}{cos x} \ cos 0 < , & displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{sin x} < frac{1}{cos 0} \ 1 < , & displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{sin x} < frac{1}{1} \ 1 < , & displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{sin x} < 1 end{align} $

Berdasarkan Teorema Apit, dari $ 1 < , displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{sin x} < 1 , $ berlaku $ , displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{sin x} = 1 $
Sehingga terbukti : $ , displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{sin x} = 1 $

*). Pembuktian bentuk : $ , displaystyle lim_{x to 0 } frac{ sin x }{ x} = 1 $
Gunakan sifat-sifat Limit, silahkan baca materinya pada “Sifat-sifat Limit Fungsi“.
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{sin x} & = 1 \ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{sin x} & = displaystyle lim_{x to 0 } 1 \ frac{1}{displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{sin x} } & = frac{1}{ displaystyle lim_{x to 0 } 1 } \ displaystyle lim_{x to 0 } frac{1}{ frac{ x }{sin x} } & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{1}{ 1 } \ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin x}{ x} & = displaystyle lim_{x to 0 } 1 \ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin x}{ x} & = 1 end{align} $
Sehingga terbukti : $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin x}{ x} = 1 $

Baca juga  Contoh Soal dan Pembahasan Aplikasi Limit pada Kekontinuan Fungsi

*). Pembuktian bentuk : $ , displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{ tan x} = 1 $
Dari pers(i) di atas : $ cos x sin x < , x < tan x , $ dibagi dengan $ tan x $

$ begin{align} cos x sin x < , & x < tan x \ frac{cos x sin x }{tan x} < , & frac{ x }{tan x} < frac{ tan x }{tan x} \ frac{cos x sin x }{frac{sin x}{cos x}} < , & frac{ x }{tan x} < 1 \ cos ^2 x < , & frac{ x }{tan x} < 1 \ displaystyle lim_{x to 0 } cos ^2 x < , & displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{tan x} < displaystyle lim_{x to 0 } 1 \ cos ^2 0 < , & displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{tan x} < 1 \ 1 < , & displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{tan x} < 1 end{align} $

Berdasarkan Teorema Apit, dari $ 1 < , displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{tan x} < 1 , $ berlaku $ , displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{tan x} = 1 $
Sehingga terbukti : $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{tan x} = 1 $

*). Pembuktian bentuk : $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ tan x }{ x} = 1 $
Gunakan juga sifat-sifat limit fungsi :
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{tan x} & = 1 \ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{tan x} & = displaystyle lim_{x to 0 } 1 \ frac{1}{displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{tan x} } & = frac{1}{ displaystyle lim_{x to 0 } 1 } \ displaystyle lim_{x to 0 } frac{1}{ frac{ x }{tan x} } & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{1}{ 1 } \ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ tan x }{ x} & = displaystyle lim_{x to 0 } 1 \ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ tan x }{ x} & = 1 end{align} $
Sehingga terbukti : $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ tan x }{ x} = 1 $

*). Pembuktian bentuk : $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax}{ ax} = 1 $
Berdasarkan : $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin x}{ x} = 1 , , $ berlaku juga untuk $ displaystyle lim_{y to 0 } frac{sin y}{ y} = 1 $

Misalkan $ y = ax , $ , untuk $ x , $ mendekati 0, maka $ y , $ juga mendekati 0.

Substitusi bentuk $ ax = y $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax}{ ax} & = displaystyle lim_{ax to a.0 } frac{sin ax}{ ax} \ & = displaystyle lim_{ax to 0 } frac{sin ax}{ ax} \ & = displaystyle lim_{y to 0 } frac{sin y}{ y} \ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax}{ ax} & = 1 end{align} $
Sehingga terbukti : $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax}{ ax} = 1 $

Baca juga  Contoh Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri

*). Pembuktian bentuk : $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax}{ bx} = frac{a}{b} $
Berdasarkan : $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax}{ ax} = 1 $

$ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax}{ bx} & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax}{ bx} times frac{ax}{ax} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax}{ ax} times frac{ax}{bx} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax}{ ax} times frac{a}{b} \ & = 1 times frac{a}{b} \ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax}{ bx} & = frac{a}{b} end{align} $
Sehingga terbukti : $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax}{ bx} = frac{a}{b} $
Catatan : Untuk yang lainnya caranya sama saja pembuktiannya.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *