Contoh Soal dan Pembahasan Aplikasi Limit pada Kekontinuan Fungsi

         Sebelumnya kita telah mempelajari “Penerapan Limit pada Laju Perubahan“. Kali ini kita akan mempelajari penerapan limit lainnya yaitu Penerapan Limit pada Kekontinuan Fungsi. Suatu fungsi dikatakan kontinu pada suatu titik tertentu (misalkan $ x = a$) jika grafik fungsinya tidak terputus di titik tersebut.

Perhatikan grafik fungsi $ f(x) = frac{x^2 – 1}{x-1} , $ berikut,

Dari grafik terlihat bahwa untuk titik $ x = 1 , $ grafiknya terputus, ini artinya fungsi $ f(x) = frac{x^2 – 1}{x-1} , $ tidak kontinu di titik $ x = 1 . , $ Dilain pihak, selain titik $ x = 1 , $ , grafik $ f(x) = frac{x^2 – 1}{x-1} , $ tidak terputus, sehingga fungsi tersebut dikatakan kontinu di semua titik selain titik $ x = 1 $ .

Penjelasan Penerapan Limit pada Kekontinuan Fungsi

       Untuk menentukan suatu fungsi apakah kontinu atau tidak kontinu di suatu titik tertentu, kita tidak mungkin selalu menggunakan grafiknya secara langsung, karena akan sulit dalam menggambarnya. Nah, untuk memudahkan dalam mengecek kekontinuan fungsi, kita akan menggunakan limit.

Fungsi $ f(x) , $ dikatakan kontinu di titik $ x = a , , $ jika memenuhi ketiga syarat berikut,
i). $ f(a) , $ ada,
ii). $ displaystyle lim_{x to a } f(x) , $ ada,
iii). $ displaystyle lim_{x to a } f(x) = f(a) $

Keterangan :
i). $ f(a) , $ ada, maksudnya nilai fungsinya terdefinisi di $ x = a , $ (bisa dihitung).
ii). $ displaystyle lim_{x to a } f(x) , $ ada, maksudnya besar limit kiri dan limit kananya adalah sama.
iii). $ displaystyle lim_{x to a } f(x) = f(a) $ , maksudnya nilai limit dan fungsinya sama.
Untuk limit kiri dan limit kanan, lihat materi “Pengertian Limit Fungsi“.

Contoh :
1). Tunjukkan fungsi $ f(x) = 2x – 1 , $ kontinu di titik $ x = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Cek ketiga syarat :
i). Nilai fungsi : $ f(1) = 2.1 – 1 = 1 $
Nilai limit kiri : $ displaystyle lim_{x to 1^{-} } 2x – 1 = 1 $
Nilai limit kanan : $ displaystyle lim_{x to 1^{+} } 2x – 1 = 1 $
ii). Artnya nilai limitnya : $ displaystyle lim_{x to 1 } 2x – 1 = 1 $
iii). $ displaystyle lim_{x to 1 } 2x – 1 = 1 = f(1) $
Karena ketika syarat terpenuhi, maka fungsi $ f(x) = 2x – 1 , $ kontinu di titik $ x = 1 $ .

Baca juga  Contoh Soal dan Pembahasan Limit Tak Hingga

2). Apakah fungsi $ f(x) = frac{x^2 – 1}{x-1} , $ kontinu di titik $ x = 1 $ ?
Penyelesaian :
*). Cek ketiga syarat :
i). Nilai fungsi : $ f(1) = frac{1^2 – 1}{1-1} = frac{0}{0} , $ . Karena hasilnya $ frac{0}{0} , $ maka nilai fungsinya tidak ada atau tidak terdefinisi.
Satu syarat tidak terpenuhi, maka dapat disimpulkan bahwa fungsi $ f(x) = frac{x^2 – 1}{x-1} , $ tidak kontinu (diskontinu) di titik $ x = 1 $ .

3). Tentukan titik dimana fungsi $ f(x) = frac{1}{x^2 – x – 6 } , $ tidak kontinu. ?
Penyelesaian :
*). Suatu fungsi dikatakan kontinu harus memenuhi ketiga syarat yang ada, jika salah satu saja tidak terpenuhi maka fungsi tersebut sudah dipastikan tidak kontinu. Karena fungsinya dalam bentuk pecahan, maka fungsi pecahan tidak ada nilai atau tidak terdefinisi jika penyebutnya bernilai 0.
*). Penyebut bernilai 0.
$ x^2 – x – 6 = 0 rightarrow (x – 3)(x+2) = 0 rightarrow x = 3 vee x = -2 $ .
Jadi, fungsi $ f(x) = frac{1}{x^2 – x – 6 } , $ tidak kontinu pada titik $ x = 3 , $ dan $ x = -2 $ .

4). Misalkan terdapat fungsi ,
$ f(x) = left{ begin{array}{cc} 3x+7 & , text{ untuk } x leq 4 \ kx – 1 & , text{ untuk } x > 4 end{array} right. $
Tentukan nilai $ k , $ sehingga $ f(x) , $ kontinu di $ x = 4 $ . ?
Penyelesaian :
*). Syarat agar fungsi kontinu di $ x = 4 , $ adalah $ displaystyle lim_{x to 4 } f(x) = f(4) , $ atau $ displaystyle lim_{x to 4^- } f(x) = displaystyle lim_{x to 4^+ } f(x) = f(4) $ .
*). Nilai fungsi : $ f(4) $
Untuk $ x = 4, , $ maka fungsinya adalah $ f(x) = 3x+7 $
Sehingga nilai fungsinya : $ f(4) = 3.4 + 7 = 19 $
*). Limit kiri : untuk $ x = 4 , $ mendekati dari kiri, maka fungsi $ f(x) = 3x + 7 , $ yang digunakan,
$ displaystyle lim_{x to 4^- } 3x + 7 = 3.4 + 7 = 19 $
*). Limit kanan : untuk $ x = 4 , $ mendekati dari kanan, maka fungsi $ f(x) = kx – 1 , $ yang digunakan,
$ displaystyle lim_{x to 4^+ } kx – 1 = k.4 – 1 = 4k – 1 $
*). Menentukan nilai $ k $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 4^- } f(x) & = displaystyle lim_{x to 4^+ } f(x) \ 19 & = 4k-1 \ 4k & = 20 \ k & = 5 end{align} $
Jadi, agar fungsi $ f(x) , $ kontinu, maka nilai $ k , $ adalah 5.

Baca juga  Contoh Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri

5). Diketahui fungsi berikut adalah kontinu,
$ f(x) = left{ begin{array}{cc} ax+3 & , text{ untuk } x leq 2 \ x^2 + 1 & , text{ untuk } 2 < x leq 4 \ 5 – bx & , text{ untuk } x > 4 \ end{array} right. $
Tentukan nilai $ a + b , $ ?
Penyelesaian :
*). Fungsi $ f(x) , $ tidak kontinu di titik $ x = 2 , $ dan $ x = 4 $
*). penyelesaian di titik $ x = 2 $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 2^- } f(x) & = displaystyle lim_{x to 2^+ } f(x) \ displaystyle lim_{x to 2^- } ax+3 & = displaystyle lim_{x to 2^+ } x^2 + 1 \ a.2+3 & = 2^2 + 1 \ 2a+3 & = 5 \ 2a & = 2 \ a & = 1 end{align} $
*). penyelesaian di titik $ x = 4 $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 4^- } f(x) & = displaystyle lim_{x to 4^+ } f(x) \ displaystyle lim_{x to 4^- } x^2 + 1 & = displaystyle lim_{x to 4^+ } 5 – bx \ 4^2 + 1 & = 5-b.4 \ 17 & = 5-4b \ 4b & = 5 – 17 \ 4b & = -12 \ b & = -3 end{align} $
Sehingga nilai $ a + b = 1 + (-3) = -2 $ .
Jadi, nilai $ a + b = -2 $.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *