Contoh Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Aljabar

         Sebelumnya telah dibahas artikel “Pengertian Limit Fungsi” dan “Sifat-sifat Limit Fungsi” , untuk artikel kali ini kita membahas materi Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar yang merupakan kelanjutan materi sebelumnya. Untuk menyelesaikan suatu limit fungsi, ada beberapa cara yaitu substitusi, pemfaktoran, kali sekawan, dan menggunakan turunan. Untuk kali ini kita akan membahas cara substitusi, pemfaktoran dan kali sekawan.

Hasil Limit Bentuk Tentu dan Bentuk Tak Tentu

       Secara umum, untuk menyelesaikan limit fungsi baik aljabar maupun trigonometri adalah substitusi nilai $ x , $ ke fungsi $ f(x) $. Setelah disubstitusikan, akan diperoleh nilai limitnya yang dibagi menjadi dua yaitu bentuk tentu dan bentuk tak tentu.

Bentuk Tentu : $ a, , frac{a}{b}, , frac{a}{0} = infty , , frac{0}{b} = 0 $
Bentuk tak Tentu : $ frac{0}{0}, , frac{infty}{infty} , , infty – infty , , 0^0 , , infty ^ infty $
dengan $ a , $ dan $ b , $ adalah bilangan real.

Jika hasilnya bentuk tentu, maka bentuk tak tentu tersebut adalah hasil limitnya, dan jika hasilnya bentuk tak tentu, maka fungsinya harus diproses lagi dengan cara difaktorkan atau di kalikan dengan bentuk sekawannya. Biasanya kebanyakan soal limit pasti hasilnya bentuk tak tentu sehingga harus diproses lagi.

Contoh :
1). Tentukan nilai limit fungsi aljabar berikut :
a). $ displaystyle lim_{x to 2 } 3x^2 $
b). $ displaystyle lim_{x to 1 } frac{x^2 + 1}{3x} $
c). $ displaystyle lim_{x to 2 } frac{3x – 2}{x-2} $
d). $ displaystyle lim_{x to -1 } frac{x+1}{2x-1} $
e). $ displaystyle lim_{x to 1 } frac{x^2 – 1}{x-1} $
Penyelesaian :
a). $ displaystyle lim_{x to 2 } 3x^2 = 3.(2)^2 = 3.4 = 12 $
Hasilnya 12 (bentuk tentu), artinya nilai $ displaystyle lim_{x to 2 } 3x^2 = 12 $
b). $ displaystyle lim_{x to 1 } frac{x^2 + 1}{3x} = frac{1^2 + 1}{3.1} = frac{2}{3} $
Hasilnya $ frac{2}{3} $ (bentuk tentu), artinya nilai $ displaystyle lim_{x to 1 } frac{x^2 + 1}{3x} = frac{2}{3} $
c). $ displaystyle lim_{x to 2 } frac{3x – 2}{x-2} = frac{3.2 – 2}{2-2} = frac{4}{0} = infty $
Hasilnya $ infty $ (bentuk tentu), artinya nilai $ displaystyle lim_{x to 2 } frac{3x – 2}{x-2} = infty $
d). $ displaystyle lim_{x to -1 } frac{x+1}{2x-1} = frac{(-1) + 1}{2(-1) – 1} = frac{0}{-3} = 0 $
Hasilnya 0 (bentuk tentu), artinya nilai $ displaystyle lim_{x to -1 } frac{x+1}{2x-1} = 0 $
e). $ displaystyle lim_{x to 1 } frac{x^2 – 1}{x-1} = frac{1^2 – 1}{1-1} = frac{0}{0} $
Hasilnya $ frac{0}{0} $ (bentuk tak tentu), sehingga fungsinya harus diproses lagi

Baca juga  Kumpulan Soal Limit Fungsi Aljabar

Penyelesaian Limit fungsi aljabar dengan pemfaktoran

       Setalah disubstitusi nilai $ x , $ ke fungsi $ f(x) , $ dan hasilnya bentuk tak tentu, maka salah satu cara penyelesaiannya adalah dengan pemfaktoran, kemudian bentuk faktor yang sama dicoret sehingga pembuat nol nya tidak ada lagi.

Bentuk-bentuk pemfaktoran yang sering digunakan adalah :
*). Pemfaktoran bentuk kuadrat, baca artikel “Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat(PK)
*). $ p^2 – q^2 = (p+q)(p-q) $
*). $ p^3 – q^3 = (p-q)(p^2 + pq + q^2) $
*). $ p^3 + q^3 = (p+q)(p^2 – pq + q^2) $

Contoh :
2). Tentukan hasil limit fungsi aljabar berikut :
a). $ displaystyle lim_{x to 1 } frac{x^2 – 1}{x-1} $
b). $ displaystyle lim_{x to 2 } frac{x^3 – 8}{x-2} $
c). $ displaystyle lim_{x to 3 } frac{2x^2-7x+3}{x^2-2x-3} $
Penyelesaian :
a). $ displaystyle lim_{x to 1 } frac{x^2 – 1}{x-1} = frac{1^2-1}{1-1} = frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 1 } frac{x^2 – 1}{x-1} & = displaystyle lim_{x to 1 } frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \ & = displaystyle lim_{x to 1 } (x+1) \ & = 1 + 1 = 2 end{align} $
Sehingga, nilai $ displaystyle lim_{x to 1 } frac{x^2 – 1}{x-1} = 2 $

b). $ displaystyle lim_{x to 2 } frac{x^3 – 8}{x-2} = frac{2^3-8}{2-2} = frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 2 } frac{x^3 – 8}{x-2} & = displaystyle lim_{x to 2 } frac{x^3 – 2^2}{x-2} \ & = displaystyle lim_{x to 2 } frac{(x-2)(x^2 + 2x + 2^2)}{x-2} \ & = displaystyle lim_{x to 2 } (x^2 + 2x + 4 ) \ & = 2^2 + 2.2 + 4 = 12 end{align} $
Sehingga, nilai $ displaystyle lim_{x to 2 } frac{x^3 – 8}{x-2} = 12 $

c). $ displaystyle lim_{x to 3 } frac{2x^2-7x+3}{x^2-2x-3} = frac{2.3^2-7.3+3}{3^2-2.3-3} = frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 3 } frac{2x^2-7x+3}{x^2-2x-3} & = displaystyle lim_{x to 3 } frac{(x-3)(2x-1)}{(x-3)(x+1)} \ & = displaystyle lim_{x to 3 } frac{(2x-1)}{(x+1)} \ & = frac{(2.3-1)}{(3+1)} \ & = frac{5}{4} end{align} $
Sehingga, nilai $ displaystyle lim_{x to 3 } frac{2x^2-7x+3}{x^2-2x-3} = frac{5}{4} $

Baca juga  Kumpulan Soal Limit Fungsi Trigonometri

Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar dengan kalikan sekawan

       Untuk hasil limit bentuk tak tentu, terutama fungsinya berbentuk akar, maka untuk menyelesaikannya bisa menggunakan cara kalikan dengan bentuk sekawannya.

Berikut bentuk sekawan dari beberapa fungsi :
*). $ sqrt{x} + sqrt{b} , $ bentuk sekawannya : $ sqrt{x} – sqrt{b} $
*). $ asqrt{x} – p sqrt{b} , $ bentuk sekawannya : $ asqrt{x} + p sqrt{b} $
*). $ asqrt{x} + b , $ bentuk sekawannya : $ asqrt{x} – b $

Catatan : dari bentuk sekawan di atas, bentuk sekawan positif adalah negatif (dan sebaliknya).

Contoh :
3). tentukan hasil limit fungsi aljabar berikut :
a). $ displaystyle lim_{x to 2 } frac{sqrt{2x} – 2}{x-2} $
b). $ displaystyle lim_{x to 1 } frac{sqrt{x + 1} – sqrt{2} }{x – 1} $
c). $ displaystyle lim_{x to 3 } frac{x^2 – 9 }{3 – sqrt{x + 6 } } $
Penyelesaian :
a). $ displaystyle lim_{x to 2 } frac{sqrt{2x} – 2}{x-2} = frac{sqrt{2.2} – 2}{2-2} = frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 2 } frac{sqrt{2x} – 2}{x-2} & = displaystyle lim_{x to 2 } frac{sqrt{2x} – 2}{x-2} times frac{sqrt{2x} + 2}{sqrt{2x} + 2} \ & = displaystyle lim_{x to 2 } frac{2x – 4}{(x-2)(sqrt{2x} + 2)} \ & = displaystyle lim_{x to 2 } frac{2(x – 2)}{(x-2)(sqrt{2x} + 2)} \ & = displaystyle lim_{x to 2 } frac{2}{sqrt{2x} + 2} \ & = frac{2}{sqrt{2.2} + 2} \ & = frac{2}{2 + 2} \ & = frac{2}{4} \ & = frac{1}{2} end{align} $
Sehingga, nilai $ displaystyle lim_{x to 2 } frac{sqrt{2x} – 2}{x-2} = frac{1}{2} $

b). $ displaystyle lim_{x to 1 } frac{sqrt{x + 1} – sqrt{2} }{x – 1} = frac{sqrt{1 + 1} – sqrt{2} }{1 – 1} = frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 1 } frac{sqrt{x + 1} – sqrt{2} }{x – 1} & = displaystyle lim_{x to 1 } frac{sqrt{x + 1} – sqrt{2} }{x – 1} times frac{sqrt{x + 1} + sqrt{2}}{sqrt{x + 1} + sqrt{2}} \ & = displaystyle lim_{x to 1 } frac{(x+1) – 2 }{(x – 1)(sqrt{x + 1} + sqrt{2} )} \ & = displaystyle lim_{x to 1 } frac{(x-1) }{(x – 1)(sqrt{x + 1} + sqrt{2} )} \ & = displaystyle lim_{x to 1 } frac{1}{sqrt{x + 1} + sqrt{2} } \ & = frac{1}{sqrt{1 + 1} + sqrt{2} } \ & = frac{1}{sqrt{2} + sqrt{2} } \ & = frac{1}{2sqrt{2}} \ & = frac{1}{2sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} \ & = frac{sqrt{2}}{2.2} \ & = frac{1}{4}sqrt{2} end{align} $
Sehingga, nilai $ displaystyle lim_{x to 1 } frac{sqrt{x + 1} – sqrt{2} }{x – 1} = frac{1}{4}sqrt{2} $

Baca juga  Contoh Soal dan Pembahasan Latihan Limit Fungsi Tak Hingga

c). $ displaystyle lim_{x to 3 } frac{x^2 – 9 }{3 – sqrt{x + 6 } } = frac{3^2 – 9 }{3 – sqrt{3 + 6 } } = frac{0}{0} $
Hasilnya bentuk tak tentu ( $ frac{0}{0} $ ) , sehingga harus diproses lagi.
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 3 } frac{x^2 – 9 }{3 – sqrt{x + 6 } } & = displaystyle lim_{x to 3 } frac{x^2 – 9 }{3 – sqrt{x + 6 } } times frac{3 + sqrt{x + 6 }}{3 + sqrt{x + 6 }} \ & = displaystyle lim_{x to 3 } frac{(x^2 – 9)(3 + sqrt{x + 6 }) }{9 – (x + 6 ) } \ & = displaystyle lim_{x to 3 } frac{(x-3)(x+3)(3 + sqrt{x + 6 }) }{3 – x } \ & = displaystyle lim_{x to 3 } frac{(x-3)(x+3)(3 + sqrt{x + 6 }) }{-(x-3) } \ & = displaystyle lim_{x to 3 } frac{(x+3)(3 + sqrt{x + 6 }) }{-1 } \ & = displaystyle lim_{x to 3 } -(x+3)(3 + sqrt{x + 6 }) \ & = -(3+3)(3 + sqrt{3 + 6 }) \ & = -(6)(3 + sqrt{9}) \ & = -(6)(6) \ & = -36 end{align} $
Sehingga, nilai $ displaystyle lim_{x to 3 } frac{x^2 – 9 }{3 – sqrt{x + 8 } } = -36 $

4). Tentukan nilai $ displaystyle lim_{h to 0 } frac{f(x+h) – f(x) }{h} , $ untuk fungsi $ f(x) = 3x – 5 $
Penyelesaian :
*). Fungsi $ f(x+h) = 3(x+h) – 5 = 3x + 3h – 5 $
*). Menentukan hasilnya :
$ begin{align} displaystyle lim_{h to 0 } frac{f(x+h) – f(x) }{h} & = displaystyle lim_{h to 0 } frac{ ( 3x + 3h – 5 ) – (3x – 5 ) }{h} \ & = displaystyle lim_{h to 0 } frac{ 3h }{h} \ & = displaystyle lim_{h to 0 } 3 \ displaystyle lim_{h to 0 } frac{f(x+h) – f(x) }{h} & = 3 end{align} $

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *