Contoh Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri

         Setelah mempelajari materi “penyelesaian limit fungsi aljabar”, kali ini kita akan lanjutkan materi limit untuk penyelesaian limit fungsi trigonometri. Disini kita akan melibatkan fungsi trigonometri, sehingga kita harus mempelajari materi yang berkaitan dengan trigonometri. Persamaan trigonometri yang biasa dipakai pada limit adalah persamaan identitas trigonometri yang bisa dibaca pada artikel “Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku” , “rumus trigonometri untuk penjumlahan dan pengurangan“, dan “rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut“.

         Penyelesaian limit fungsi trigonometri biasanya dilakukan dengan substitusi terlebih dahulu. Jika hasilnya bentuk tak tentu, maka kita lanjutkan prosesnya dengan cara pemfaktoran, terkadang kalikan bentuk sekawannya, dan menggunakan sifat-sifat limit trigonometri, serta bisa menggunakan turunan. Bentuk tentu dan bentuk tak tentu hasil limit suatu fungsi bisa dibaca lebih lanjut pada artikel “Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar“. Soal-soal yang biasanya adalah soal-soal dengan hasil limitnya bentuk tak tentu yang akan kita selesaikan dengan menggunakan sifat-sifat limit trigonometri.

Sifat-sifat limit fungsi Trigonometri

       Untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri salah satu caranya adalah menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri yaitu :

$clubsuit $ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri paling dasar
i). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin x }{x} = 1 , , , $ berlaku juga $ , , displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax }{ax} = 1 $
ii). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{sin x} = 1 , , , $ berlaku juga $ , , displaystyle lim_{x to 0 } frac{ ax }{sin ax} = 1 $
iii). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{tan x }{x} = 1 , , , $ berlaku juga $ , , displaystyle lim_{x to 0 } frac{tan ax }{ax} = 1 $
iv). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ x }{tan x} = 1 , , , $ berlaku juga $ , , displaystyle lim_{x to 0 } frac{ ax }{tan ax} = 1 $

$clubsuit $ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri Lebih Umum
i). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax }{bx} = frac{a}{b} , , $ atau $ , , displaystyle lim_{x to 0 } frac{ ax }{sin bx} = frac{a}{b} $
ii). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{tan ax }{bx} = frac{a}{b} , , $ atau $ , , displaystyle lim_{x to 0 } frac{ ax }{tan bx} = frac{a}{b} $
iii). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax }{sin bx} = frac{a}{b} , , $ atau $ , , displaystyle lim_{x to 0 } frac{ tan ax }{tan bx} = frac{a}{b} $
iv). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax }{tan bx} = frac{a}{b} , , $ atau $ , , displaystyle lim_{x to 0 } frac{ tan ax }{sin bx} = frac{a}{b} $

Catatan : Untuk bentuk fungsi $ cos $, maka harus diubah dulu menjadi bentuk $ sin $ agar bisa menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri. Untuk pembuktian sifat-sifat di atas, silahkan baca pada artikel “pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri”.

Contoh :
1). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut :
a). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin 3x }{5x} , , , $ b). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ 2x }{3 sin 5 x} , , , $ c). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ 7tan 2x }{ 4x} , , , $ d). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ 2x }{ 9tan 2x} $
Penyelesaian :
a). Kita menggunakan dua cara :
Cara I : Menggunakan sifat Dasar, $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax }{ax} = 1 $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin 3x }{5x} & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin 3x }{5x} times frac{3x}{3x} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin 3x }{3x} times frac{3x}{5x} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin 3x }{3x} times frac{3}{5} \ & = 1 times frac{3}{5} \ & = frac{3}{5} end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin 3x }{5x} = frac{3}{5} $

Cara II : Menggunakan sifat umum , $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax }{bx} = frac{a}{b} $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin 3x }{5x} & = frac{3}{5} end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin 3x }{5x} = frac{3}{5} $

Catatan : Untuk soal sisanya kita menggunakan sifat umum saja.

b). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ 2x }{3 sin 5 x} = displaystyle lim_{x to 0 } frac{ 2x }{sin 5 x} times frac{1}{3} = frac{2}{5} times frac{1}{3} = frac{2}{15} $

Baca juga  Contoh Soal dan Pembahasan Limit Tak Hingga

c). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ 7tan 2x }{ 4x} = displaystyle lim_{x to 0 } 7 times frac{ tan 2x }{ 4x} = 7 times frac{2}{4} = frac{7}{2} $

d). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ 2x }{ 9tan 2x} = displaystyle lim_{x to 0 } frac{ 2x }{ tan 2x} times frac{1}{9} = frac{2}{2} times frac{1}{9} = frac{1}{9} $

2). Tentukan penyelesaian limit fungsi trigonometri berikut :
a). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin 2x }{sin 3x} , , , $ b). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{tan 6x }{tan 2x} , , , $ c). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin 3x }{tan 2x} , , , $ d). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{tan 4x }{sin 8x} , , , $ e). $ displaystyle lim_{x to 0 } 3x . cot 7x $
Penyelesaian :
a). Kita menggunakan dua cara,
Cara I : Menggunakan sifat dasar,
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin 2x }{sin 3x} & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin 2x }{sin 3x} . frac{2x}{2x} . frac{3x}{3x} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin 2x }{2x} . frac{3x }{sin 3x}. frac{2x}{3x} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin 2x }{2x} . frac{3x }{sin 3x}. frac{2}{3} \ & = 1 . 1 . frac{2}{3} \ & = frac{2}{3} end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin 2x }{sin 3x} = frac{2}{3} $

Cara II : Mengunakan sifat umum : $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin ax }{sin bx} = frac{a}{b} $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin 2x }{sin 3x} = frac{2}{3} end{align} $

Catatan : Untuk soal sisanya kita menggunakan sifat umum saja.

b). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{tan 6x }{tan 2x} = frac{6}{2} = 3 $

c). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{sin 3x }{tan 2x} = frac{3}{2} $

d). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{tan 4x }{sin 8x} = frac{4}{8} = frac{1}{2} $

e). $ displaystyle lim_{x to 0 } 3x . cot 7x = displaystyle lim_{x to 0 } 3x . frac{1}{tan 7x} = displaystyle lim_{x to 0 } frac{3x }{tan 7x} = frac{3}{7} $
Ingat : $ cot A = frac{1}{tan A } $

3). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri di bawah ini :
a). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{2 – 2 cos 2x }{3x^2} , , , $ b). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{cos 2x }{x – frac{pi}{4}} , , , $ c). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{1 – cos x }{x sin 2x} , , , $ d). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{3x + sin 2 x }{5x} $
Penyelesaian :
Kita langsung menggunakan sifat umum dan persamaan trigonometri.
a). Ingat rumus : $ cos 2x = 1 – 2sin ^2 x $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } frac{2 – 2 cos 2x }{3x^2} & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{2(1 – cos 2x ) }{3x . x} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{2(1 – [ 1 – 2sin ^2 x ] ) }{3x . x} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{2(1 – 1 + 2sin ^2 x ) }{3x . x} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{2(2sin ^2 x ) }{3x . x} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{4sin x sin x }{3x . x} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } 4. frac{sin x }{3x } . frac{sin x }{ x} \ & = 4. frac{1 }{3 } . 1 \ & = frac{ 4 }{3 } end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{2 – 2 cos 2x }{3x^2} = frac{ 4 }{3 } $

b). Ingat rumus : $ cos 2x = 1 – 2sin ^2 x , $ dan $ , cos (frac{pi}{2} + A) = – sin A $
Misalkan : $ p = x – frac{pi}{4} rightarrow x = p + frac{pi}{4} $
Untuk $ x , $ mendekati $ frac{pi}{4} , $ maka $ p , $ mendekati 0.
Substitusi permisalan di atas semua ke limintnya :
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } frac{cos 2x }{x – frac{pi}{4}} & = displaystyle lim_{x – frac{pi}{4} to 0 } frac{cos 2x }{x – frac{pi}{4}} \ & = displaystyle lim_{p to 0 } frac{cos 2(p + frac{pi}{4}) }{p} \ & = displaystyle lim_{p to 0 } frac{cos ( frac{pi}{2} + 2p ) }{p} \ & = displaystyle lim_{p to 0 } frac{ – sin 2p }{p} \ & = – frac{2}{1} \ & = – 2 end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{cos 2x }{x – frac{pi}{4}} = -2 $

Baca juga  Contoh Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Aljabar

c). Ingat rumus : $ cos px = 1 – 2sin ^2 frac{p}{2} x $
Sehingga : $ cos x = cos 1.x = 1 – 2sin ^2 frac{1}{2} x $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } frac{1 – cos x }{x sin 2x} & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{1 – (1 – 2sin ^2 frac{1}{2} x ) }{x sin 2x} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{1 – 1 + 2sin ^2 frac{1}{2} x }{x sin 2x} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{ 2sin ^2 frac{1}{2} x }{x sin 2x} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{ 2sin frac{1}{2} x . sin frac{1}{2} x }{x sin 2x} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } 2 . frac{ sin frac{1}{2} x }{x } . frac{ sin frac{1}{2} x }{sin 2x} \ & = 2 . frac{ frac{1}{2} }{1} . frac{ frac{1}{2} }{ 2 } \ & = 2 . frac{1}{2}. frac{1}{4} \ & = frac{1}{4} end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{1 – cos x }{x sin 2x} = frac{1}{4} $

d). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{3x + sin 2 x }{5x} = displaystyle lim_{x to 0 } left( frac{3x }{5x} + frac{ sin 2 x }{5x} right) = frac{3}{5} + frac{2}{5} = frac{5}{5} = 1 $

4). Tentukan nilai limit dari fungsi trigonometri berikut.
a). $ displaystyle lim_{x to infty } x sin frac{1}{x} , , , $ b). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{tan x – sin x}{4x^3} $
Penyelesaian :
a). Misalkan : $ y = frac{1}{x} rightarrow x = frac{1}{y} $
Untuk $ x , $ mendekati $ infty , $ maka $ y , $ mendekati 0. ($ y = frac{1}{x} = frac{1}{infty} = 0 $) .
Substitusikan semua permisalannya ake limitnya :
$ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } x sin frac{1}{x} & = displaystyle lim_{frac{1}{x} to frac{1}{infty} } x sin frac{1}{x} \ & = displaystyle lim_{ y to 0 } frac{1}{y} . sin y \ & = displaystyle lim_{ y to 0 } frac{sin y}{y} \ & = 1 end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to infty } x sin frac{1}{x} = $

b). Ingat rumus : $ cos x = 1 – 2sin ^2 frac{1}{2} x , $ dan $ tan x = frac{sin x}{cos x } $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } frac{tan x – sin x}{4x^3} & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{frac{sin x}{cos x} – sin x}{4x^3} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{frac{sin x}{cos x} – frac{sin x cos x}{cos x} }{4x^3} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{frac{sin x – sin x cos x}{cos x} }{4x^3} \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{ sin x – sin x cos x }{4x^3 . cos x } \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{ sin x ( 1 – cos x ) }{4x.x.x . cos x } \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{ sin x ( 1 – [ 1 – 2sin ^2 frac{1}{2} x ] ) }{4x.x.x . cos x } \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{ sin x ( 2sin ^2 frac{1}{2} x ) }{4x.x.x . cos x } \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{ 2sin x . sin frac{1}{2} x . sin frac{1}{2} x }{4x.x.x . cos x } \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{2}{4} . frac{ sin x }{x } . frac{ sin frac{1}{2} x }{x } . frac{ sin frac{1}{2} x }{x } . frac{1}{cos x} \ & = frac{1}{2} . 1 . frac{ frac{1}{2} }{1 } . frac{ frac{1}{2} }{1} . frac{1}{cos 0} \ & = frac{1}{2} . 1 . frac{1}{2}. frac{1}{2}. frac{1}{1} \ & = frac{1}{8} end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{tan x – sin x}{4x^3} = frac{1}{8} $

Kaitan Limit fungsi Trigonometri dan Fungsi Aljabar

       Penyelesaian limit yang ada kaitan limit fungsi trigonometri dan fungsi aljabar menggunakan sifat-sifat berikut :

i). $ displaystyle lim_{x to k } frac{sin af(x) }{bf(x)} = frac{a}{b} , , $ atau $ , , displaystyle lim_{x to k } frac{ af(x) }{sin bf(x)} = frac{a}{b} $
ii). $ displaystyle lim_{x to k } frac{tan af(x) }{bf(x)} = frac{a}{b} , , $ atau $ , , displaystyle lim_{x to k } frac{ af(x) }{tan bf(x)} = frac{a}{b} $
iii). $ displaystyle lim_{x to k } frac{sin af(x) }{sin bf(x)} = frac{a}{b} , , $ atau $ , , displaystyle lim_{x to k } frac{ tan af(x) }{tan bf(x)} = frac{a}{b} $
iv). $ displaystyle lim_{x to k } frac{sin af(x) }{tan bf(x)} = frac{a}{b} , , $ atau $ , , displaystyle lim_{x to k } frac{ tan af(x) }{sin bf(x)} = frac{a}{b} $

Baca juga  Contoh Soal dan Penyelesaian Limit Fungsi dengan Dalil L'Hospital atau Turunan

Dengan syarat : $ f(k) = 0 $

Contoh :
5). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut :
a). $ displaystyle lim_{x to 1 } frac{sin (x – 1) }{x^2 – 1} , , , $ b). $ displaystyle lim_{x to 2 } frac{ x^2 + x -6}{ tan ( x – 2) } , , , $ c). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ sin x }{ sqrt{ 4 + x} – 2 } $
Penyelesaian :
a). Faktorkan bentuk aljabarnya : $ p^2 – q^2 = (p-q)(p+q) $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 1 } frac{sin (x – 1) }{x^2 – 1} & = displaystyle lim_{x to 1 } frac{sin (x – 1) }{(x-1)(x+1)} \ & = displaystyle lim_{x to 1 } frac{sin (x – 1) }{(x-1)} . frac{1}{x+1} \ & = 1 . frac{1}{1+1} \ & = frac{1}{2} end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to 1 } frac{sin (x – 1) }{x^2 – 1} = frac{1}{2} $

b). Faktorkan bentuk aljabarnya :
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 2 } frac{ x^2 + x -6}{ tan ( x – 2) } & = displaystyle lim_{x to 2 } frac{ (x-2)(x+3)}{ tan ( x – 2) } \ & = displaystyle lim_{x to 2 } frac{ (x-2)}{ tan ( x – 2) } . (x+3) \ & = 1 . (2+3) \ & = 5 end{align} $
Jadi, nilai $ displaystyle lim_{x to 2 } frac{ x^2 + x -6}{ tan ( x – 2) } = 5 $

c). Kalikan sekawan bentuk akarnya :
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } frac{ sin x }{ sqrt{ 4 + x} – 2 } & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{ sin x }{ sqrt{ 4 + x} – 2 } times frac{sqrt{ 4 + x} + 2 }{sqrt{ 4 + x} + 2 } \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{ sin x }{ (4+x) – 4 } times (sqrt{ 4 + x} + 2 ) \ & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{ sin x }{ x } times (sqrt{ 4 + x} + 2 ) \ & = 1 times (sqrt{ 4 + 0} + 2 ) \ & = 1 times (2 + 2 ) \ & = 4 end{align} $
Jadi, nilai $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ sin x }{ sqrt{ 4 + x} – 2 } = 4 $

6). Tentukan nilai $ displaystyle lim_{h to 0 } frac{f(x+h) – f(x) }{h} , $ untuk fungsi $ f(x) = cos x $
Penyelesaian :
*). Ingat bentuk : $ cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B $
Sehingga : $ f(x+h) = cos (x + h) = cos x cos h – sin x sin h $
*). Rumus : $ cos px = 1 – 2sin ^2 frac{1}{2} x $
Sehingga : $ cos h = 1 – 2sin ^2 frac{1}{2} h $
bentuk : $ cos h – 1 = (1 – 2sin ^2 frac{1}{2} h) – 1 = – 2sin ^2 frac{1}{2} h = – 2sin frac{1}{2} h . sin frac{1}{2} h $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ begin{align} displaystyle lim_{h to 0 } frac{f(x+h) – f(x) }{h} & = displaystyle lim_{h to 0 } frac{ (cos x cos h – sin x sin h) – cos x }{h} \ & = displaystyle lim_{h to 0 } frac{ (cos x cos h – cos x ) – sin x sin h }{h} \ & = displaystyle lim_{h to 0 } frac{ cos x ( cos h – 1 ) – sin x sin h }{h} \ & = displaystyle lim_{h to 0 } frac{ cos x ( cos h – 1 ) }{h} – displaystyle lim_{h to 0 } frac{ sin x sin h }{h} \ & = cos x . displaystyle lim_{h to 0 } frac{ ( cos h – 1 ) }{h} – sin x . displaystyle lim_{h to 0 } frac{ sin h }{h} \ & = cos x . displaystyle lim_{h to 0 } frac{ – 2sin frac{1}{2} h . sin frac{1}{2} h }{h} – sin x . displaystyle lim_{h to 0 } frac{ sin h }{h} \ & = cos x . displaystyle lim_{h to 0 } frac{ sin frac{1}{2} h }{h} . (- 2sin frac{1}{2} h ) – sin x . displaystyle lim_{h to 0 } frac{ sin h }{h} \ & = cos x . frac{1}{2}. (- 2sin frac{1}{2} 0 ) – sin x . 1 \ & = cos x . frac{1}{2}. (- 2sin 0 ) – sin x \ & = cos x . frac{1}{2}. (0 ) – sin x \ & = 0- sin x \ displaystyle lim_{h to 0 } frac{f(x+h) – f(x) }{h} & = – sin x end{align} $

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *