Contoh Soal dan Pembahasan Limit Tak Hingga Fungsi Khusus

         Sebelumnya telah kita bahas materi “Penyelesaian Limit Tak Hingga“, kali ini kita akan belajar materi yang lebih menantang yaitu Limit Tak Hingga Fungsi Khusus. Limit Tak Hingga Fungsi Khusus merupakan limit di tak hingga ( $ x rightarrow infty $) dengan fungsi yang lebih menarik atau menantang lagi. Konsep limit yang akan kita libatkan adalah “Penyelesaian Limit Fungsi dengan Dalil L’Hospital atau Turunan

Penyelesaian Limit Tak Hingga Fungsi Khusus

       Berikut penyelesaian Limit Tak Hingga Fungsi Khusus yang sering dipakai dan bentuknya paling sederhana :
1). $ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } left( 1 + frac{1}{x} right)^x = e end{align} , , , , , , $ 2). $ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } left( 1 – frac{1}{x} right)^x = e^{-1} end{align} $
3). $ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } left( 1 + frac{n}{x} right)^x = e^{n} end{align} , , , , , , $ 4). $ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } left( 1 + x right)^frac{1}{x} = e end{align} $
5). $ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } left( 1 – x right)^frac{1}{x} = e^{-1} end{align} , , , , , , $ 6). $ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } left( 1 + nx right)^frac{1}{x} = e^{n} end{align} $
7). $ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } left( 1 – nx right)^frac{1}{x} = e^{-n} end{align} , , , , , , $ 8). $ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } left( 1 – frac{n}{x} right)^x = e^{-n} end{align} $

dengan $ e = 2,7182818….. , $ ($ e = , $ bilangan euler)

Contoh :
1). Tentukan hasil limit tak hingga berikut :
a). $ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } left( 1 + frac{2}{x} right)^x end{align} , , , , , , $ b). $ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } left( 1 + 3x right)^frac{1}{x} end{align} $
c). $ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } left( 1 – frac{5}{x} right)^x end{align} , , , , , , $ d). $ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } left( 1 – 4x right)^frac{1}{x} end{align} $
Penyelesaian :
*). Kita langsung menggunakan bentuk dasar limit fungsi khusus di atas,
a). $ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } left( 1 + frac{2}{x} right)^x = e^2 end{align} , , $ (rumus 3).
b). $ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } left( 1 + 3x right)^frac{1}{x} = e^3 end{align} , , $ (rumus 6).
c). $ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } left( 1 – frac{5}{x} right)^x = e^{-5} end{align} , , $ (rumus 8).
d). $ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } left( 1 – 4x right)^frac{1}{x} = e^{-4} end{align} , , $ (rumus 7).

Baca juga  Contoh Soal dan Pembahasan Limit Tak Hingga

2). Tentukan hasil limit tak hingga fungsi khusus berikut :
a). $ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } left( 1 + frac{2}{3x} right)^{5x} end{align} , , , , , , $ b). $ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } left( 1 – 3x right)^frac{7}{x} end{align} $
Penyelesaian :
*). Kita modifikasi bentuk limitnya dan gunakan sifat dasar,
gunakan juga sifat eksponen : $ (a^{m.n}) = [(a^m)]^n $
a). Modifikasi dengan permisalan $ 3x = y , $ dan gunakan rumus 3.
$ x $ menuju tak hingga, maka $ 3x $ menuju tak hingga.
$ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } left( 1 + frac{2}{3x} right)^{5x} & = displaystyle lim_{x to infty } left( 1 + frac{2}{3x} right)^{5x. frac{3}{3}} \ & = displaystyle lim_{x to infty } left( 1 + frac{2}{3x} right)^{3x. frac{5}{3}} \ & = left[ displaystyle lim_{x to infty } left( 1 + frac{2}{3x} right)^{3x} right]^frac{5}{3} \ & = left[ displaystyle lim_{3x to infty } left( 1 + frac{2}{3x} right)^{3x} right]^frac{5}{3} \ & = left[ displaystyle lim_{y to infty } left( 1 + frac{2}{y} right)^{y} right]^frac{5}{3} \ & = left( e^2 right)^frac{5}{3} \ & = e^frac{10}{3} end{align} $

b). Modifikasi dan gunakan rumus 7.
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } left( 1 – 3x right)^frac{7}{x} & = displaystyle lim_{x to 0 } left( 1 – 3x right)^{frac{1}{x} . 7} \ & = left[ displaystyle lim_{x to 0 } left( 1 – 3x right)^{frac{1}{x} } right]^7 \ & = left[ e^{-3} right]^7 \ & = e^{-21} end{align} $

3). Tentukan hasil limit tak hingga fungsi khusus berikut :
a). $ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } left( 1 – frac{5}{3x-6} right)^{x-2} end{align} , , , , , , $ b). $ begin{align} displaystyle lim_{x to 1 } left( x^2 + 2x – 2 right)^frac{5}{x^2 + 2x – 3} end{align} $
Penyelesaian :
*). Modifikasi limitnya dan gunakan rumus dasar limit tak hingga di atas,
gunakan juga sifat eksponen : $ (a^{m.n}) = [(a^m)]^n $
a). Modifikasi dan gunakan rumus dasar 8 .
Misalkan $ 3x-6 = y , $ . untuk $ x $ menuju tak hingga, maka $ 3x-6 $ menuju tak hingga.
$ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } left( 1 – frac{5}{3x-6} right)^{x-2} & = displaystyle lim_{x to infty } left( 1 – frac{5}{3x-6} right)^{(x-2).frac{3}{3}} \ & = displaystyle lim_{x to infty } left( 1 – frac{5}{3x-6} right)^{(3x-6).frac{1}{3}} \ & = left[ displaystyle lim_{x to infty } left( 1 – frac{5}{3x-6} right)^{(3x-6)} right]^frac{1}{3} \ & = left[ displaystyle lim_{3x-6 to infty } left( 1 – frac{5}{3x-6} right)^{(3x-6)} right]^frac{1}{3} \ & = left[ displaystyle lim_{y to infty } left( 1 – frac{5}{y} right)^{y} right]^frac{1}{3} \ & = left[ e^{-5} right]^frac{1}{3} \ & = e^frac{-5}{3} end{align} $

Baca juga  Soal Limit Trigonometri TOP 1

b). Modifikasi dan gunakan rumus dasar 4.
misalkan $ x^2 + 2x – 3 = y , $ . untuk $ x $ menuju 1, maka $ x^2 + 2x – 3 , $ menuju nol.
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 1 } left( x^2 – 2x – 2 right)^frac{5}{x^2 + 2x – 3} & = displaystyle lim_{x to 1 } left( x^2 + 2x – 3 + 1 right)^{frac{1}{x^2 + 2x – 3} . 5} \ & = displaystyle lim_{x to 1 } left( 1 + (x^2 + 2x – 3) right)^{frac{1}{x^2 + 2x – 3} . 5} \ & = left[ displaystyle lim_{x to 1 } left( 1 + (x^2 + 2x – 3) right)^{frac{1}{x^2 + 2x – 3} } right]^5 \ & = left[ displaystyle lim_{(x^2 + 2x – 3) to 0 } left( 1 + (x^2 + 2x – 3) right)^{frac{1}{x^2 + 2x – 3} } right]^5 \ & = left[ displaystyle lim_{y to 0 } left( 1 + y right)^frac{1}{y} right]^5 \ & = left[ e right]^5 \ & = e^5 end{align} $

Pembuktian Rumus Dasar Limit Tak Hingga Fungsi Khusus

*). Untuk membuktikan rumus dasar limit tak hingga fungsi khusus, ada beberapa konsep dasar yang kita gunakan.
*). Bentuk $ Ln , $ . $ Ln , $ sama dengan logaritma hanya saja basisnya $ e $.
Bentuk $ {}^e log b , $ sama saja dengan $ ln b $ . Artinya bentuk $ ln , $ memiliki sifat yang sama dengan logaritma.
Sifat yang digunakan adalah $ ln b^n = n . ln b $
*). Turunan bentuk $ ln f(x) $ :
misalkan : $ y = ln f(x) rightarrow y^prime = frac{1}{f(x)} . f^prime (x) $ .
*). Penggunakan turunan pada limit bentuk tak tentu (Dalil L’Hospital).
*). Persamaan logaritma : $ {}^a log b = c rightarrow b = a^c $
sehingga : $ ln b = c rightarrow b = e^c $

$ spadesuit $ Pembuktian rumus dasar : $ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } left( 1 + frac{n}{x} right)^x = e^{n} end{align} $
*). Misalkan nilai $ t = begin{align} displaystyle lim_{x to infty } left( 1 + frac{n}{x} right)^x end{align} $
*). Turunan fungsi :
$ y = frac{1}{x} rightarrow y^prime = -x^{-2} $
$ y = ln (1 + frac{n}{x} ) rightarrow y^prime = frac{1}{1 + frac{n}{x} } . (-n.x^{-2}) $
*). Pembuktiannya :
$ begin{align} t & = displaystyle lim_{x to infty } left( 1 + frac{n}{x} right)^x \ ln t & = ln displaystyle lim_{x to infty } left( 1 + frac{n}{x} right)^x \ ln t & = displaystyle lim_{x to infty } ln left( 1 + frac{n}{x} right)^x \ ln t & = displaystyle lim_{x to infty } x . ln left( 1 + frac{n}{x} right) \ ln t & = displaystyle lim_{x to infty } frac{ ln left( 1 + frac{n}{x} right) }{frac{1}{x} } , , , , , text{(L’Hospital)} \ ln t & = displaystyle lim_{x to infty } frac{ frac{1}{1 + frac{n}{x} } . (-n.x^{-2}) }{ -x^{-2} } \ ln t & = displaystyle lim_{x to infty } frac{ frac{1}{1 + frac{n}{x} } . (n) }{ 1 } \ ln t & = displaystyle lim_{x to infty } n . frac{1}{1 + frac{n}{x} } \ ln t & = n . displaystyle lim_{x to infty } frac{1}{1 + frac{n}{x} } \ ln t & = n . frac{1}{1 + frac{n}{ infty } } \ ln t & = n . frac{1}{1 + 0 } \ ln t & = n . 1 \ ln t & = n \ t & = e^n \ displaystyle lim_{x to infty } left( 1 + frac{n}{x} right)^x & = e^{n} end{align} $

Baca juga  Contoh Soal dan Penyelesaian Limit Fungsi dengan Dalil L'Hospital atau Turunan

Catatan : Untuk rumus 1, 2, dan 8, gunakan rumus dasar $ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } left( 1 + frac{n}{x} right)^x = e^{n} end{align} $

$ clubsuit $ Pembuktian rumus dasar : $ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } left( 1 + nx right)^frac{1}{x} = e^{n} end{align} $
*). Pembuktiannya bisa langsung menggunakan rumus dasar 3.
Misalkan $ x = frac{1}{y} , $ maka $ y = frac{1}{x} $
untuk $ x $ menuju nol, maka $ y $ menuju tak hingga.
*). Pembuktiannya :
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } left( 1 + nx right)^frac{1}{x} & = displaystyle lim_{frac{1}{x} to infty } left( 1 + n. frac{1}{y} right)^y \ & = displaystyle lim_{y to infty } left( 1 + frac{n}{y} right)^y , , , , , text{(rumus dasar 3)} \ lim_{x to 0 } left( 1 + nx right)^frac{1}{x} & = e^n end{align} $

Catatan : untuk rumus dasar 4, 5, dan 7 , gunakan rumus dasar $ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } left( 1 + nx right)^frac{1}{x} = e^{n} end{align} $

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *