Contoh Soal dan Pembahasan Limit Tak Hingga

         Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Penyelesaian Limit Tak Hingga. Limit tak hingga ini maksudnya bisa hasil limitnya adalah tak hingga ($ infty $) atau limit dimana variabelnya menuju tak hingga ($ x to infty $). Untuk memudahkan, silahkan juga baca materi “Pengertian Limit Fungsi” dan “Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar“.

Hasil Limit Tak hingga

       Suatu limit hasilnya tak hingga ($infty$) jika hasil limitnya semakin membesar menuju tak hingga, bisanya terjadi ketika pembaginya adalah 0 ($ frac{1}{0} = infty $ ) .

Berikut teorinya :
$ displaystyle lim_{x to , (+0) } frac{1}{x^n} = + infty , $ dan $ , displaystyle lim_{x to , (-0) } frac{1}{x^n} = left{ begin{array}{cc} +infty & , text{ untuk } , n , text{ genap} \ -infty & , text{ untuk } , n , text{ ganjil} end{array} right. $
dengan $ n , $ bilangan asli.

Catatan : Jika pangkatnya genap ($n , $ genap) maka hasilnya selalu positif.

Contoh :
1). Tentukan nilai $ displaystyle lim_{x to 2 } frac{1}{(x-2)^2} , $ ?
Penyelesaian :
*). Berikut grafik dari fungsi $ f(x) = frac{1}{(x-2)^2} $

Dari tabel terlihat bahwa untuk $ x , $ mendekati 2, maka hasil fungsinya (nilai $y $ ) semakin besar menuju tak hingga.
Jadi, hasil dari $ displaystyle lim_{x to 2 } frac{1}{(x-2)^2} = infty $

2). Tentukan nilai limit bentuk berikut :
a). $ displaystyle lim_{x to 5^+ } frac{x+2}{(x-5)^5} , , , $ b). $ displaystyle lim_{x to 3^- } frac{x}{(x-3)^8} , , , $ c). $ displaystyle lim_{x to 3^- } frac{x}{(x-3)^7} $
Penyelesaian :
a). Karena $ x to 5^+ , $ (artinya $ x , $ mendekati 5 dari kanan, sehingga nilai $ x – 5 , $ positif.
$ displaystyle lim_{x to 5^+ } frac{x+2}{(x-5)^5} = frac{5+2}{(5^+ – 5)^5} = frac{7}{(+0)^5} = + infty $

b). $ displaystyle lim_{x to 3^- } frac{x}{(x-3)^8} = frac{3}{(3^- – 3)^8 } = frac{3}{(-0)^8} = frac{3}{0} = +infty $

c). $ displaystyle lim_{x to 3^- } frac{x}{(x-3)^7} =frac{3}{(3^- – 3)^7 } = frac{3}{(-0)^7} = frac{3}{-0} = -infty $

Penyelesaian Limit di Tak Hingga

       Untuk menyelesaikan limit menuju tak hingga ($ x to infty $ ), kita gunakan limit dasarnya yaitu : $ , , displaystyle lim_{x to infty } frac{a}{x^n} = 0 $
dengan $ a , $ bilangan real dan $ n , $ bilangan asli.

       Artinya kita harus mengarahkan bentuk limit di tak hingga menjadi rumus dasar di atas dengan cara :
i). Buat fungsinya menjadi bentuk pecahan, jika bentuknya dalam akar maka kalikan dengan bentuk sekawannya (merasionalkan).
ii). Bagi variabelnya dengan pangkat tertinggi.

Contoh :
3). Tentukan hasil limit di tak hingga berikut :
a). $ displaystyle lim_{x to infty } frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 – 4x + 1} , , , $ b). $ displaystyle lim_{x to infty } frac{-2x^2 – 5}{5x^8 – 4x + 3} , , , $ c). $ displaystyle lim_{x to infty } frac{x^5 – 2x^3 + 5x – 1}{3x^2 – 4x + 1 } $
d). $ displaystyle lim_{x to infty } frac{2x + 1}{ sqrt{9x^2 + 2x – 7} } , , , $ e). $ displaystyle lim_{x to infty } sqrt{4x^2 +2x-3} – sqrt{4x^2 – x + 3} $
Penyelesaian :
a). Bagi dengan $ x^3 , $ untuk pembilang dan penyebutnya.
$ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 – 4x + 1} & = displaystyle lim_{x to infty } frac{frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{x^3}}{frac{5x^3 – 4x + 1}{x^3} } \ & = displaystyle lim_{x to infty } frac{frac{2x^3}{x^3} + frac{3x^2}{x^3} + frac{5}{x^3} }{frac{5x^3 }{x^3} – frac{ 4x }{x^3} + frac{ 1}{x^3} } \ & = displaystyle lim_{x to infty } frac{ 2 + frac{3}{x} + frac{5}{x^3} }{5 – frac{ 4 }{x^2} + frac{ 1}{x^3} } \ & = frac{ 2 + frac{3}{infty} + frac{5}{infty ^3} }{5 – frac{ 4 }{infty ^2} + frac{ 1}{infty ^3} } \ & = frac{ 2 + 0 + 0 }{5 – 0 + 0 } \ & = frac{ 2 }{5 } \ end{align} $
Sehingga hasilnya $ displaystyle lim_{x to infty } frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 – 4x + 1} = frac{ 2 }{5 } $

Baca juga  Contoh Soal dan Penyelesaian Limit Fungsi dengan Dalil L'Hospital atau Turunan

b). Bagi dengan $ x^8 , $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } frac{-2x^2 – 5}{5x^8 – 4x + 3} & = displaystyle lim_{x to infty } frac{frac{-2x^2 – 5}{x^8}}{frac{5x^8 – 4x + 3}{x^8} } \ & = displaystyle lim_{x to infty } frac{ frac{-2}{x^6} – frac{5}{x^8} }{ 5 – frac{4}{x^7} + frac{3}{x^8} } \ & = frac{ frac{-2}{infty ^6} – frac{5}{infty ^8} }{ 5 – frac{4}{infty ^7} + frac{3}{infty^8} } \ & = frac{ 0 – 0 }{ 5 – 0 + 0 } \ & = frac{ 0 }{ 5 } \ & = 0 end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to infty } frac{-2x^2 – 5}{5x^8 – 4x + 3} = 0 $

c). Bagi dengan $ x^5 , $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } frac{x^5 – 2x^3 + 5x – 1}{3x^2 – 4x + 1 } & = displaystyle lim_{x to infty } frac{frac{x^5 – 2x^3 + 5x – 1}{x^5}}{frac{3x^2 – 4x + 1 }{x^5}} \ & = displaystyle lim_{x to infty } frac{ 1 – frac{2}{x^2} + frac{5}{x^4} – frac{1}{x^5} }{ frac{3}{x^3} – frac{4}{x^4} + frac{1}{x^5} } \ & = frac{ 1 – frac{2}{infty ^2} + frac{5}{infty ^4} – frac{1}{infty ^5} }{ frac{3}{infty ^3} – frac{4}{infty ^4} + frac{1}{infty ^5} } \ & = frac{ 1 – 0 + 0 – 0 }{ 0 – 0 + 0 } \ & = frac{ 1 }{ 0} \ & = infty end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to infty } frac{x^5 – 2x^3 + 5x – 1}{3x^2 – 4x + 1 } = infty $

d). Bagi dengan $ x , $ untuk pembilang dan penyebutnya,
$begin{align} displaystyle lim_{x to infty } frac{2x + 1}{ sqrt{9x^2 + 2x – 7} } & = displaystyle lim_{x to infty } frac{frac{2x + 1}{x}}{ frac{sqrt{9x^2 + 2x – 7}}{x} } \ & = displaystyle lim_{x to infty } frac{ 2 + frac{1}{x} }{ frac{sqrt{9x^2 + 2x – 7}}{sqrt{x^2}} } \ & = displaystyle lim_{x to infty } frac{ 2 + frac{1}{x} }{ sqrt{frac{9x^2 + 2x – 7}{x^2} } } \ & = displaystyle lim_{x to infty } frac{ 2 + frac{1}{x} }{ sqrt{ 9 + frac{2}{x} – frac{7}{x^2} } } \ & = frac{ 2 + frac{1}{infty} }{ sqrt{ 9 + frac{2}{infty} – frac{7}{infty ^2} } } \ & = frac{ 2 + 0 }{ sqrt{ 9 + 0 – 0 } } \ & = frac{ 2 }{ sqrt{ 9 } } \ & = frac{ 2 }{3} end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to infty } frac{2x + 1}{ sqrt{9x^2 + 2x – 7} } = frac{ 2 }{3} $

e). Kali sekawan agar terbentuk pecahan dan bagi $ x $
$ begin{align} & displaystyle lim_{x to infty } sqrt{4x^2 +2x-3} – sqrt{4x^2 – x + 3} \ & = displaystyle lim_{x to infty } sqrt{4x^2 +2x-3} – sqrt{4x^2 – x + 3} times frac{sqrt{4x^2 +2x-3} + sqrt{4x^2 – x + 3}}{sqrt{4x^2 +2x-3} + sqrt{4x^2 – x + 3}} \ & = displaystyle lim_{x to infty } frac{ (4x^2 +2x-3) – (4x^2 – x + 3) }{sqrt{4x^2 +2x-3} + sqrt{4x^2 – x + 3}} \ & = displaystyle lim_{x to infty } frac{ 3x – 6 }{sqrt{4x^2 +2x-3} + sqrt{4x^2 – x + 3}} \ & = displaystyle lim_{x to infty } frac{ frac{ 3x – 6 }{x}}{ frac{sqrt{4x^2 +2x-3} + sqrt{4x^2 – x + 3}}{x} } \ & = displaystyle lim_{x to infty } frac{ 3 – frac{6}{x} }{ frac{sqrt{4x^2 +2x-3} + sqrt{4x^2 – x + 3}}{sqrt{x^2}} } \ & = displaystyle lim_{x to infty } frac{ 3 – frac{6}{x} }{ frac{sqrt{4x^2 +2x-3} }{sqrt{x^2}} + frac{ sqrt{4x^2 – x + 3}}{sqrt{x^2}} } \ & = displaystyle lim_{x to infty } frac{ 3 – frac{6}{x} }{ sqrt{4 +frac{2}{x} – frac{3}{x^2} } + sqrt{4 – frac{1}{x} + frac{3}{x^2}} } \ & = frac{ 3 – frac{6}{infty} }{ sqrt{4 +frac{2}{infty} – frac{3}{infty ^2} } + sqrt{4 – frac{1}{infty} + frac{3}{infty ^2}} } \ & = frac{ 3 – 0}{ sqrt{4 + 0 – 0 } + sqrt{4 – 0 + 0 } } \ & = frac{ 3 }{ sqrt{4 } + sqrt{4 } } \ & = frac{ 3 }{ 2 + 2 } \ & = frac{ 3 }{ 4 } end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to infty } sqrt{4x^2 +2x-3} – sqrt{4x^2 – x + 3} = frac{ 3 }{ 4 } $

Penyelesaian Limit di Tak Hingga Yang lebih praktis
       Berikut cara menyelesaikan limit di tak hingga yang lebih mudah :

Baca juga  Soal Limit Trigonometri TOP 1

$clubsuit $ Limit tak hingga pecahan :
Misalkan fungsinya $ f(x) = ax^n + a_1x^{n-1} + … , $ dengan pangkat tertinggi $ n , $ dan $ g(x) = bx^m + b_1 x^{m-1} + …. $ dengan pangkat tertinggi $ m , $ , maka limit di tak hingganya :
$ displaystyle lim_{x to infty } frac{ax^n + a_1x^{n-1} + …}{bx^m + b_1 x^{m-1} + ….} left{ begin{array}{ccc} = frac{0}{b} & = 0 & , text{untuk } n < m \ = frac{a}{b} & & , text{untuk } n = m \ = frac{a}{0} & = infty & , text{untuk } n > m end{array} right. $
Catatan : Ambil koefisien pangkat tertingginya.

$clubsuit $ Limit tak hingga bentuk akar
*). Bentuk pertama,
$ displaystyle lim_{x to infty } sqrt{ax^2 + bx + c } – sqrt{ax^2 + px + q } = frac{b-p}{2sqrt{a}} $

*). Bentuk kedua,
$ displaystyle lim_{x to infty } sqrt{ax^n + bx^frac{n}{2} + c } – sqrt{ax^n + px^frac{n}{2} + q } = frac{b-p}{2sqrt{a}} $
Pangkat didepan adalah dua kali pangkat kedua dan nilai $ a , $ sama pada kedua akar.

Contoh :
4). Tentukan hasil limit di tak hingga dari soal nomor 3 di atas,
a). $ displaystyle lim_{x to infty } frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 – 4x + 1} , , , $ b). $ displaystyle lim_{x to infty } frac{-2x^2 – 5}{5x^8 – 4x + 3} , , , $ c). $ displaystyle lim_{x to infty } frac{x^5 – 2x^3 + 5x – 1}{3x^2 – 4x + 1 } $
d). $ displaystyle lim_{x to infty } frac{2x + 1}{ sqrt{9x^2 + 2x – 7} } , , , $ e). $ displaystyle lim_{x to infty } sqrt{4x^2 +2x-3} – sqrt{4x^2 – x + 3} $
f). $ displaystyle lim_{x to infty } sqrt{9x^8 +3x^4-3} – sqrt{9x^8 + 5x^4 + 1} $
Penyelesaian :
a). Pangkat tertingginya $ x ^3 , $ , artinya ambil koefisien $ x^3 $ ,
$ displaystyle lim_{x to infty } frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{5x^3 – 4x + 1} = frac{2}{5} $

b). Pangkat tertingginya $ x^8 , $ , artinya ambil koefisien $ x^8 , $,
$ displaystyle lim_{x to infty } frac{-2x^2 – 5}{5x^8 – 4x + 3} = displaystyle lim_{x to infty } frac{0x^8-2x^2 – 5}{5x^8 – 4x + 3} = frac{0}{5} = 0 $
c). Pangkat tertingginya $ x^5 , $ , artinya ambil koefisien $ x^5 $ ,
$ displaystyle lim_{x to infty } frac{x^5 – 2x^3 + 5x – 1}{3x^2 – 4x + 1 } = displaystyle lim_{x to infty } frac{x^5 – 2x^3 + 5x – 1}{0x^5 + 3x^2 – 4x + 1 } = frac{1}{0} = infty $
d). Pangkat tertingginya $ x , $ , artinya ambil koefisien $ x $ ,
$ displaystyle lim_{x to infty } frac{2x + 1}{ sqrt{9x^2 + 2x – 7} } = displaystyle lim_{x to infty } frac{2x + 1}{ sqrt{9x^2 } } = displaystyle lim_{x to infty } frac{2x + 1}{ 3x } = frac{2}{3} $
e). $ displaystyle lim_{x to infty } sqrt{4x^2 +2x-3} – sqrt{4x^2 – x + 3} = frac{b-p}{2sqrt{a}} = frac{2-(-1)}{2sqrt{4}} = frac{3}{4} $
f). $ displaystyle lim_{x to infty } sqrt{9x^8 +3x^4-3} – sqrt{9x^8 + 5x^4 + 1} = frac{b-p}{2sqrt{a}} = frac{3-5}{2sqrt{9}} = frac{-2}{6} = – frac{1}{3} $

Baca juga  Sifat Sifat Limit Fungsi

5). Tentukan hasil limit tak hingga berikut ini,
a). $ displaystyle lim_{x to infty } sqrt{x^2 – 5x } – (x + 2) $
b). $ displaystyle lim_{x to infty } 2x – 3 – sqrt{4x^2 +x – 7 } $
c). $ displaystyle lim_{x to infty } frac{5^x + 3 }{5^{x+2} – 7} $
Penyelesaian :
a). Ubah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar.
$ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } sqrt{x^2 – 5x } – (x + 2) & = displaystyle lim_{x to infty } sqrt{x^2 – 5x } – sqrt{(x + 2)^2} \ & = displaystyle lim_{x to infty } sqrt{x^2 – 5x } – sqrt{x^2 + 4x + 4} \ & = frac{b-p}{2sqrt{a}} \ & = frac{-5-4}{2sqrt{1}} \ displaystyle lim_{x to infty } sqrt{x^2 – 5x } – (x + 2) & = frac{-9}{2} end{align} $

b). Ubah terlebih dulu sehingga keduanya membentuk akar.
$ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } 2x – 3 – sqrt{4x^2 +x – 7 } & = displaystyle lim_{x to infty } (2x – 3) – sqrt{4x^2 +x – 7 } \ & = displaystyle lim_{x to infty } sqrt{(2x – 3)^2} – sqrt{4x^2 +x – 7 } \ & = displaystyle lim_{x to infty } sqrt{4x^2-12x + 9} – sqrt{4x^2 +x – 7 } \ & = frac{b-p}{2sqrt{a}} \ & = frac{-12-1}{2sqrt{4}} \ displaystyle lim_{x to infty } 2x – 3 – sqrt{4x^2 +x – 7 } & = frac{-13}{4} end{align} $

c). Misalkan $ y = 5^x , , $ untuk $ x , $ menuju tak hingga, maka $ y , $ juga menuju tak hingga, kemudian ambil koefisien pangkat tertingginya
$ begin{align} displaystyle lim_{x to infty } frac{5^x + 3 }{5^{x+2} – 7} & = displaystyle lim_{5^x to 5^infty } frac{5^x + 3 }{5^{x+2} – 7} \ & = displaystyle lim_{5^x to 5^infty } frac{5^x + 3 }{5^x . 5^2 – 7} \ & = displaystyle lim_{y to infty } frac{y + 3 }{y . 5^2 – 7} \ & = displaystyle lim_{y to infty } frac{y + 3 }{25y – 7} \ displaystyle lim_{x to infty } frac{5^x + 3 }{5^{x+2} – 7} & = frac{1}{25} end{align} $

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *