Contoh Soal dan Penyelesaian Limit Fungsi dengan Dalil L’Hospital atau Turunan

         Untuk menyelesaikan limit suatu fungsi yang hasilnya bentuk tak tentu (khususnya $ frac{0}{0} , $ ), dapat menggunakan turunan yang dikenal dengan metode L’Hospital. Sebelumnya kita telah belajar “limit fungsi aljabar” dan “limit fungsi trigonometri” yang penyelesaiannya dengan cara pemfaktoran, kali sekawan (merasionalkan), dan menggunakan sifa-sifat limit fungsi trigonometri. Metode L’Hospital ini biasanya lebih mudah digunakan pada limit fungsi aljabar dengan pangkat variabelnya lebih dari 2, namun bisa juga diterapkan pada limit fungsi trigonometri.

         Untuk bisa memudahkan memahami materi Penyelesaian Limit Fungsi dengan L’Hospital atau Turunan , sebelumnya kita harus mempelajari materi yang berkaitan dengan turunan fungsi baik “turunan fungsi aljabar” maupun “turunan fungsi trigonometri“. Berikut teori Penyelesaian Limit Fungsi dengan L’Hospital atau Turunan secara ringkas.
gambar rumus_dasar_limit_di_tak_hingga.

Penyelesaian Limit Fungsi dengan Metode L’Hospital atau Menggunakan Turunan

Misalkan ada limit fungsi : $ displaystyle lim_{x to k } frac{f(x)}{g(x)} = frac{0}{0} , $ ,
Maksudnya hasilnya adalah $ frac{0}{0} , $ , maka limit fungsi tersebut bisa diselesaikan dengan turunan, yaitu :
$ displaystyle lim_{x to k } frac{f(x)}{g(x)} = displaystyle lim_{x to k } frac{f^prime (x)}{g^prime (x)} = displaystyle lim_{x to k } frac{f^{prime prime } (x)}{g^{prime prime } (x)} $

Catatan : Fungsi tersebut diturunkan sampai hasilnya tidak $ frac{0}{0} , $ lagi, artinya jika hasilnya masih $ frac{0}{0} , $ maka diturunkan lagi.

Contoh :
1). Tentukan hasil limit fungsi berikut :
a). $ displaystyle lim_{x to 1 } frac{x^{15} – 1}{2x^2 – 2} , , , , $ b). $ displaystyle lim_{x to 2 } frac{x^3 – 2x^2 + 3x – 6}{x^2 -4} , , , , $ c). $ displaystyle lim_{x to 3 } frac{sqrt{3x-5} – 2}{x^3 – 27} $
Penyelesaian :
*). Konsep turunan fungsi aljabar : $ y = ax^n rightarrow y^prime = n.a.x^{n-1} $
a). $ displaystyle lim_{x to 1 } frac{x^{15} – 1}{2x^2 – 2} = frac{1^{15} – 1}{2.1^2 – 2} = frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ frac{0}{0} , $ , maka bisa menggunakan L’Hospital (diturunkan)
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 1 } frac{x^{15} – 1}{2x^2 – 2} & = displaystyle lim_{x to 1 } frac{15x^{15-1} – 0}{2.2.x^{2-1} – 0 } \ & = displaystyle lim_{x to 1 } frac{15x^{14}}{4x } \ & = frac{15.1^{14}}{4.1 } \ & = frac{15}{ 4 } end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to 1 } frac{x^{15} – 1}{2x^2 – 2} = frac{15}{4} $

Baca juga  Sifat Sifat Limit Fungsi

b). $ displaystyle lim_{x to 2 } frac{x^3 – 2x^2 + 3x – 6}{x^2 -4} = frac{2^3 – 2.2^2 + 3.2 – 6}{2^2 -4} = frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ frac{0}{0} , $ , maka bisa menggunakan L’Hospital (diturunkan)
$ begin{align} frac{x^3 – 2x^2 + 3x – 6}{x^2 -4} & = frac{3x^2 – 4x + 3}{2x} \ & = frac{3.2^2 – 4.2 + 3}{2.2} \ & = frac{12 – 8 + 3}{4} \ & = frac{7}{4} end{align} $
Sehingga nilai $ frac{x^3 – 2x^2 + 3x – 6}{x^2 -4} = frac{7}{4} $

c). $ displaystyle lim_{x to 3 } frac{sqrt{3x-5} – 2}{x^3 – 27} = frac{sqrt{3.3-5} – 2}{3^3 – 27} = frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ frac{0}{0} , $ , maka bisa menggunakan L’Hospital (diturunkan)
Turunan bentuka akar : $ y = sqrt{f(x)} rightarrow y^prime = frac{f^prime (x)}{2sqrt{f(x)}} $
sehingga : $ y = sqrt{3x-5} rightarrow y^prime = frac{3}{2sqrt{3x-5}} $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 3 } frac{sqrt{3x-5} – 2}{x^3 – 27} & = displaystyle lim_{x to 3 } frac{ frac{3}{2sqrt{3x-5}} }{3x^2} \ & = frac{ frac{3}{2sqrt{3.3-5}} }{3.3^2} \ & = frac{ frac{3}{2sqrt{4}} }{27} \ & = frac{ frac{3}{2.2} }{27} \ & = frac{ frac{3}{4} }{27} \ & = frac{3}{4.27} \ & = frac{3}{108} end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to 3 } frac{sqrt{3x-5} – 2}{x^3 – 27} = frac{3}{108} $

2). Tentukan hasil limit fungsi berikut :
a). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ sin 2x }{ 3x} , , , , $ b). $ displaystyle lim_{x to frac{1}{4} pi } frac{ sin 4x }{sin x – cos x} , , , , $ c). $ displaystyle lim_{x to frac{1}{2} pi } frac{1 – sin x }{x – frac{1}{2} pi} $
Penyelesaian :
*). Konsep turunan fungsi trigonometri :
$ y = sin x rightarrow y^prime = cos x $
$ y = cos x rightarrow y^prime = sin x $
$ y = sin f(x) rightarrow y^prime = f^prime cos f(x) $
$ y = cos f(x) rightarrow y^prime = – f^prime sin f(x) $

a). $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ sin 2x }{ 3x} = frac{ sin 2. 0 }{ 3.0} = frac{ sin 0 }{ 0} = frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ frac{0}{0} , $ , maka bisa menggunakan L’Hospital (diturunkan)
Turunan : $ y = sin 2x rightarrow y^prime = 2 cos 2x $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 0 } frac{ sin 2x }{ 3x} & = displaystyle lim_{x to 0 } frac{ 2 cos 2x }{ 3} \ & = frac{ 2 cos 2.0 }{ 3} \ & = frac{ 2 cos 0 }{ 3} \ & = frac{ 2 . 1 }{ 3} \ & = frac{ 2 }{ 3} end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to 0 } frac{ sin 2x }{ 3x} = frac{2}{3} $

Baca juga  Pengertian Limit Fungsi

b). $ displaystyle lim_{x to frac{1}{4} pi } frac{ sin 4x }{sin x – cos x} = frac{ sin 4 . frac{1}{4} pi }{sin frac{1}{4} pi – cos frac{1}{4} pi} = frac{ sin pi }{ frac{1}{2}sqrt{2} – frac{1}{2}sqrt{2} } = frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ frac{0}{0} , $ , maka bisa menggunakan L’Hospital (diturunkan)
Turunan : $ y = sin 4x rightarrow y^prime = 4 cos 4x $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to frac{1}{4} pi } frac{ sin 4x }{sin x – cos x} & = displaystyle lim_{x to frac{1}{4} pi } frac{4 cos 4x }{cos x – (-sin x) } \ & = displaystyle lim_{x to frac{1}{4} pi } frac{4 cos 4x }{cos x + sin x } \ & = frac{4 cos 4. frac{1}{4} pi }{cos frac{1}{4} pi + sin frac{1}{4} pi } \ & = frac{4 cos pi }{ frac{1}{2}sqrt{2} + frac{1}{2}sqrt{2} } \ & = frac{4 .(-1) }{ sqrt{2} } \ & = – frac{4 }{ sqrt{2} } \ & = – frac{4 }{ sqrt{2} } times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} \ & = – frac{4 sqrt{2}}{ 2 } \ & = – 2sqrt{2} end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to frac{1}{4} pi } frac{ sin 4x }{sin x – cos x} = – 2sqrt{2} $

c). $ displaystyle lim_{x to frac{1}{2} pi } frac{1 – sin x }{x – frac{1}{2} pi} = frac{1 – sin frac{1}{2} pi }{frac{1}{2} pi – frac{1}{2} pi} = frac{1 – 1 }{0} = frac{0}{0} $
Karena hasilnya $ frac{0}{0} , $ , maka bisa menggunakan L’Hospital (diturunkan)
$ begin{align} displaystyle lim_{x to frac{1}{2} pi } frac{1 – sin x }{x – frac{1}{2} pi} & = displaystyle lim_{x to frac{1}{2} pi } frac{ – cos x }{1} \ & = frac{ – cos to frac{1}{2} pi }{1} \ & = frac{ – 0 }{1} \ & = 0 end{align} $
Sehingga nilai $ displaystyle lim_{x to frac{1}{2} pi } frac{1 – sin x }{x – frac{1}{2} pi} = 0 $

3). Jika diketahui $ displaystyle lim_{x to 4 } frac{ax+b – sqrt{x}}{x-4} = frac{3}{4}, , $ maka nilai $ a + b = …. $
Penyelesaian :
*). Kita hitung hasil limitnya :
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 4 } frac{ax+b – sqrt{x}}{x-4} & = frac{3}{4} \ frac{a.4+b – sqrt{4}}{4-4} & = frac{3}{4} \ frac{4a+b – 2}{0} & = frac{3}{4} \ infty & neq frac{3}{4} end{align} $
*). Setelah kita substitusi $ x = 4 , $ diperoleh hasil limitnya tak hingga ($ infty$) yang tidak sama dengan $ frac{3}{4} , $ , ini artinya agar limitnya mempunyai hasil $ frac{3}{4} , $ maka limitnya harus diproses lagi, dengan kata lain hasil limitnya harus bentuk tak tentu yaitu $ frac{0}{0} $ .
Sehingga $ displaystyle lim_{x to 4 } frac{ax+b – sqrt{x}}{x-4} = frac{0}{0} rightarrow frac{4a+b – 2}{0} = frac{0}{0} $
Artinya nilai $ 4a+b – 2 = 0 rightarrow 4a + b = 2 , $ …..pers(i) .
*). Kita gunakan metode turunan (L’Hospital),
Turunan : $ y = sqrt{x} rightarrow y^prime = frac{1}{2sqrt{x}} $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 4 } frac{ax+b – sqrt{x}}{x-4} & = frac{3}{4} , , , , text{(diturunkan)} \ displaystyle lim_{x to 4 } frac{a – frac{1}{2sqrt{x}} }{1} & = frac{3}{4} \ displaystyle lim_{x to 4 } a – frac{1}{2sqrt{x}} & = frac{3}{4} \ a – frac{1}{2sqrt{4}} & = frac{3}{4} \ a – frac{1}{4} & = frac{3}{4} \ a & = frac{3}{4} + frac{1}{4} \ a & = frac{4}{4} = 1 end{align} $
Diperoleh : $ a = 1 , $ , substitusi nilai $ a = 1 , $ ke pers(i) ,
$ 4a + b = 2 rightarrow 4.1 + b = 2 rightarrow b = 2-4 = -2 $
Sehingga nilai $ a + b = 1 + (-2) = -1 $
Jadi, nilai $ a + b = -1 $ .

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *