Definisi Turunan Fungsi Secara Umum

        Kali ini kita akan membahas materi turunan, namun secara umum saja dengan judul Definisi Turunan Fungsi Secara Umum. Untuk memperoleh dan mengetahui Definisi Turunan Fungsi Secara Umum, kita pelajari dua penjelasan berikut yaitu tentang garis singgung dan kecepatan sesaat.

Garis Singgung(garis tangen), Garis Sekan (garis tali busur), dan Garis Normal

       Untuk membedakan ketika garis yaitu garis singgung, garis secan dan garis normal, perhatikan gambar berikut ini.

Gradien Garis Sekan dan Garis Singgung

       Perhatikan gambar garis sekan dan garis singgung berikut.

Perhatikan gambar A, garis sekan (tali busur) yang melalui titik A($a, f(a)$) dan titik B($a+Delta x , f(a+Delta x)$) memiliki gradien (kemiringan garis) yang disimbolkan dengan $ m , $ yaitu :
$ m_{AB} = frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = frac{f(a+Delta x) – f(a)}{(a+Delta x) – a} = frac{f(a+Delta x) – f(a)}{ Delta x } $
Jika $ Delta x , $ nilainya semakin kecil, maka garis sekan (gambar A) akan membentuk garis singgung seperti gambar B, sehingga diperoleh gradien garis singgungnya :
gradien garis singgung di titik A($a,f(a)$) : $ m = displaystyle lim_{Delta x to 0 } frac{f(a+Delta x) – f(a)}{ Delta x } $
dengan syarat nilai limitnya ada. Untuk persyaratan suatu limit ada atau tidak, silahkan baca materi “Pengertian Limit Fungsi“, dan untuk cara menghitung hasil limit fungsi aljabar silahkan baca materi “Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar “.

Kecepatan Sesaat

       Untuk materi kecepatan sesaat, lebih lengkapnya silahkan baca langsung materinya pada artikel “Penerapan Limit pada Laju Perubahan“.
Kecepatan sesaat dirumuskan : $ v = displaystyle lim_{ Delta x to 0 } frac{f(a+Delta x ) – f(a)}{Delta x} $ .
Definisi atau pengertian Turunan Fungsi
       Turunan fungsi $ f(x) , $ di $ x = a , $ dinotasikan dengan $ f^prime (a) , $ , didefinisikan sebagai :
$ f^prime (a) = displaystyle lim_{ Delta x to 0 } frac{f(a+Delta x ) – f(a)}{Delta x} , , $ jika limitnya ada.
atau bisa ditulis : $ f^prime (a) = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{f(a+ h ) – f(a)}{h} , , $ jika limitnya ada.
Bentuk $ f^prime (a) , $ dibaca ” $ f , $ aksen $ , a $ “.

       Jika kita tuliskan $ x = a + h , $ , maka $ h = x – a , $ dan untuk $ h to 0 , $ maka $ x to a $ . Sehingga definisi limit diatas bisa juga ditulis :
$ f^prime (a) = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{f(a+ h ) – f(a)}{h} = displaystyle lim_{ x to a } frac{f( x ) – f(a)}{x-a} $

Notasi turunan yang digunakan adalah :

*). Notasi Newton,
Turunan pertama dari $ y = f(x) , $ di notasikan : $ f^prime (x) , $ atau $ y^prime $
Turunan kedua dari $ y = f(x) , $ di notasikan : $ f^{prime prime} (x) , $ atau $ y^{prime prime} $
dan seterusnya .
*). Notasi Newton,
Turunan pertama dari $ y = f(x) , $ di notasikan : $ frac{df(x)}{dx} , $ atau $ frac{dy}{dx} $
Turunan kedua dari $ y = f(x) , $ di notasikan : $ frac{d^2f(x)}{(dx)^2} , $ atau $ frac{d^2y}{(dx)^2} $
dan seterusnya.

Definisi atau pengertian Turunan Fungsi Secara Umum
       Turunan fungsi $ f(x) , $ untuk semua $ x , $ dinotasikan dengan $ f^prime (x) , $ , didefinisikan sebagai :
$ f^prime (x) = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{f(x+ h ) – f(x)}{h} , , $ jika limitnya ada.
Bentuk $ f^prime (x) , $ dibaca ” $ f , $ aksen $ , x $ “.

Baca juga  Soal Dasar Turunan Trigonometri

Dari dfinisi ini, bisa dikatakan bahwa turunan adalah sama dengan gradien garis singgung pada suatu kurva tertentu.

Contoh :
1). Tentukan gradien garis singgung pada kurva $ f(x) = x^2 , $ di titik (2,5)? Penyelesaian :
*). Menentukan fungsinya :
$ f(x) = x^2 rightarrow f(2) = 2^2 = 4 $
$ f(2 + h) = (2 + h)^2 = 4 + 4h + h^2 $
*). Menentukan gradien pada saat $ x = 2 $
$ begin{align} m & = f^prime (2) = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{f(x+ h ) – f(x)}{h} \ & = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{f(2+ h ) – f(2)}{h} \ & = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{ (4 + 4h + h^2) – (4)}{h} \ & = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{ 4h + h^2 }{h} \ & = displaystyle lim_{ h to 0 } 4 + h \ & = 4 + 0 \ m & = 4 end{align} $
Jadi, gradien garis singgunya adalah 4.

2). Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukannya setelah $ x $ detik memenuhi persamaan $ f (x) = 6x^3 + x^2 , , $ dengan $ f(x) $ dinyatakan dalam meter.
a). Tentukan kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu $ 2 leq x leq 3 $ ?
b). Berapa kecepatan sesaat benda pada $ x = 2 , $ detik?
Penyelesaian :
a). Kecepatan sesaat untuk $ 2 leq x leq 3 , $ artinya $ Delta x = 3 – 2 = 1 $
$ a = 2 rightarrow f(2) = 6.2^3 + 2^2 $
$ f(2 + Delta x ) = f(2 + 1 ) = f(3) = 6.3^3 + 3^2 $
*). Menentukan kecepatan rata-rata (kelajuan rata-rata) :
keceptan rata-rata nya
$ begin{align} = frac{f(a+Delta x ) – f(a)}{Delta x} = frac{f(3) – f(2)}{3-2} = frac{(6.3^3 + 3^2) – ( 6.2^3 + 2^2 )}{1} = 119 end{align} $
Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 119 m/s.

b). Kecepatan sesaat $ x = 2 $
$ begin{align} v & = displaystyle lim_{ Delta x to 0 } frac{f(a+Delta x ) – f(a)}{Delta x} \ & = displaystyle lim_{ Delta x to 0 } frac{f(2+Delta x ) – f(2)}{Delta x} \ & = displaystyle lim_{ Delta x to 0 } frac{[ 6(2+Delta x)^3 + (2+Delta x)^2] – [6.2^3 + 2^2] }{Delta x} \ & = displaystyle lim_{ Delta x to 0 } frac{ 6(8 + 12Delta x + 6(Delta x)^2 + (Delta x)^3) + (4 + 4Delta x + (Delta x)^2) – 52 }{Delta x} \ & = displaystyle lim_{ Delta x to 0 } frac{ 6(Delta x)^3 + 37(Delta x)^2 + 76Delta x }{Delta x} \ & = displaystyle lim_{ Delta x to 0 } 6(Delta x)^2 + 37Delta x + 76 \ & = 6(0)^2 + 37. 0 + 76 \ & = 76 end{align} $
Jadi, kecepatan pada saat $ x = 2 $ atau pada detik kedua adalah 76 meter/detik.

3). Tentukan nilai dari $ f^prime (-2) , $ dari fungsi $ f(x) = x^2 – 3x $ ?
Penyelesaian :
*). Nilai $ f^prime (-2) , $ artinya turunan fungsi $ f(x) , $ pada saat $ x = -2 $ .
*). Menentukan nilai fungsinya :
$ f(-2) = (-2)^2 – 3.(-2) = 4 + 6 = 10 $
$ f(-2 + h) = (-2 + h)^2 – 3(-2+h) = (4 – 4h + h^2) + 6 – 3h = h^2 – 7h +10 $
*). Menentukan nilai $ f^prime (-2) , $
$ begin{align} f^prime (x) & = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{f(x+ h ) – f(x)}{h} \ f^prime (-2) & = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{f(-2+ h ) – f(-2)}{h} \ & = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{(h^2 – 7h +10) – 10}{h} \ & = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{h^2 – 7h }{h} \ & = displaystyle lim_{ h to 0 } h – 7 \ & = 0 – 7 \ & = -7 end{align} $
Jadi, nilai $ f^prime (-2) = -7 , $ untuk $ f(x) = x^2 – 3x $

Baca juga  Soal dan Pembahasan Fungsi Naik

4). Tentukan turunan dari $ f(x) , $ atau $ f^prime (x) , $ dari masing-masing fungsi berikut,
a). $ f(x) = 5x – 2 $
b). $ f(x) = x^2 + 2x $
c). $ f(x) = sin x $
Penyelesaian :
*). Bentuk $ f^prime (x) , $ artinya turunan dari fungsi $ f(x) $
a). $ f(x) = 5x – 2 $
$ begin{align} f^prime (x) & = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{f(x+ h ) – f(x)}{h} \ & = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{(5(x+ h) – 2) – (5x-2)}{h} \ & = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{(5x + 5h – 2) – (5x-2)}{h} \ & = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{5h}{h} \ & = displaystyle lim_{ h to 0 } 5 \ & = 5 end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^prime (x) = 5 $

b). $ f(x) = x^2 + 2x $
$ begin{align} f^prime (x) & = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{f(x+ h ) – f(x)}{h} \ & = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{ [(x+ h)^2 +2(x+ h)] – (x^2 + 2x) }{h} \ & = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{ [x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h] – (x^2 + 2x) }{h} \ & = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{ h^2 + 2xh + 2h }{h} \ & = displaystyle lim_{ h to 0 } h + 2x + 2 \ & = 0 + 2x + 2 \ & = 2x + 2 end{align} $
Jadi, turunannya : $ f^prime (x) = 2x + 2 $

c). $ f(x) = sin x $
*). Ingat bentuk : $ sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B $
Sehingga : $ f(x+h) = sin (x + h) = sin x cos h + cos x sin h $
*). Rumus : $ cos px = 1 – 2sin ^2 frac{1}{2} x $
Sehingga : $ cos h = 1 – 2sin ^2 frac{1}{2} h $
bentuk : $ cos h – 1 = (1 – 2sin ^2 frac{1}{2} h) – 1 = – 2sin ^2 frac{1}{2} h = – 2sin frac{1}{2} h . sin frac{1}{2} h $
*). Menentukan penyelesaiannya,
$ begin{align} f^prime (x) & = displaystyle lim_{h to 0 } frac{f(x+h) – f(x) }{h} \ & = displaystyle lim_{h to 0 } frac{ (sin x cos h + cos x sin h – sin x }{h} \ & = displaystyle lim_{h to 0 } frac{ (sin x cos h + sin x ) – cos x sin h }{h} \ & = displaystyle lim_{h to 0 } frac{ sin x ( cos h – 1 ) + cos x sin h }{h} \ & = displaystyle lim_{h to 0 } frac{ sin x ( cos h – 1 ) }{h} + displaystyle lim_{h to 0 } frac{ cos x sin h }{h} \ & = sin x . displaystyle lim_{h to 0 } frac{ ( cos h – 1 ) }{h} + cos x . displaystyle lim_{h to 0 } frac{ sin h }{h} \ & = sin x . displaystyle lim_{h to 0 } frac{ – 2sin frac{1}{2} h . sin frac{1}{2} h }{h} + cos x . displaystyle lim_{h to 0 } frac{ sin h }{h} \ & = sin x . displaystyle lim_{h to 0 } frac{ sin frac{1}{2} h }{h} . (- 2sin frac{1}{2} h ) + cos x . displaystyle lim_{h to 0 } frac{ sin h }{h} \ & = sin x . frac{1}{2}. (- 2sin frac{1}{2} 0 ) + cos x . 1 \ & = sin x . frac{1}{2}. (- 2sin 0 ) + cos x \ & = sin x . frac{1}{2}. (0 ) + cos x \ & = 0 + cos x \ & = cos x end{align} $
Untuk limit trigonometri, baca pada artikel “penyelesaian limit trigonometri“, dan untuk materi jumlah sudut pada trigonometri silahkan baca pada artikel “rumus jumlah trigonometri untuk jumlah dan selisih sudut“.
Jadi, turunannya : $ f^prime (x) = cos x , $ untuk $ f(x) = sin x $

Syarat fungsi $ f(x) , $ tidak punya turunan di $ x = a $

       Dari definisi turunan fungsi, turunan fungsi $ f(x) , $ di $ x = a , $ tidak mempunyai turunan jika
$ f^prime (a) = displaystyle lim_{ h to 0 } frac{f(a+ h ) – f(a)}{h} = displaystyle lim_{ x to a } frac{f( x ) – f(a)}{x-a} , , $
tidak ada limitnya.

Baca juga  Soal Turunan Fungsi Trigonometri untuk Perkalian

Suatu limit tidak ada nilai limitnya jika limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanannya.

Contoh :
5). DIketahui fungsi $ f(x) = |x| , , $ . Tunjukkan bahwa fungsi $ f(x) , $ tidak mempunyai turunan di $ x = 0 $ !
Penyelesaian :
*). Turunannya :
$ begin{align} f^prime (a) & = displaystyle lim_{ x to a } frac{f( x ) – f(a)}{x-a} \ f^prime (0) & = displaystyle lim_{ x to 0 } frac{f( x ) – f(0)}{x-0} \ & = displaystyle lim_{ x to 0 } frac{|x| – |0|}{x} \ & = displaystyle lim_{ x to 0 } frac{|x| }{x} end{align} $
*). Cek nilai limit kiri dan limit kanannya.
Definisi fungsi mutlak (modulus),
$ |x| = left{ begin{array}{cc} x & , text{ untuk } x geq 0 \ -x & , text{ untuk } x < 0 end{array} right. $
Artinya berlaku :
untuk $ x geq 0 , , $ maka $ |x| = x , $ dan $ x < 0 , , $ maka $ |x| = -x $
*). Menentukan limit kiri dari 0 ( untuk $ x < 0 $).
berlaku $ |x| = – x $
$ begin{align} displaystyle lim_{ x to 0^- } frac{|x| }{x} = displaystyle lim_{ x to 0^- } frac{-x }{x} = displaystyle lim_{ x to 0 } -1 = -1 end{align} $
*). Menentukan limit kanan dari 0 ( untuk $ x geq 0 $).
berlaku $ |x| = x $
$ begin{align} displaystyle lim_{ x to 0^+ } frac{|x| }{x} = displaystyle lim_{ x to 0^+ } frac{x }{x} = displaystyle lim_{ x to 0 } 1 = 1 end{align} $
Karena nilai limit kiri dan limit kanannya tidak sama, maka nilai limit $ displaystyle lim_{ x to 0 } frac{|x| }{x} , $ tidak ada. Karena nilai limitnya tidak ada, maka turunan fungsi $ f^prime (0) , $ tidak ada.
Jadi terbukti fungsi $ f(x) , $ tidak mempunyai turunan di $ x = 0 , $ untuk fungsi $ f(x) = |x| $ .

Syarat fungsi kontinu yang ada kaitannya dengan turunan fungsi

       Jika fungsi $ f(x) , $ mempunyai turunan di $ x = a , $ , maka fungsi $ f(x) , $ kontinu di $ x = a $ .

Pembuktian :
*). Proses turunannya :
$ begin{align} displaystyle lim_{ x to a } [ f( x ) – f(a) ] & = displaystyle lim_{ x to a } frac{f( x ) – f(a)}{x-a} . (x-a) \ & = displaystyle lim_{ x to a } frac{f( x ) – f(a)}{x-a} . , displaystyle lim_{ x to a } (x-a) \ & = f^prime (a) . , displaystyle lim_{ x to a } (x-a) \ & = f^prime (a) . , (a-a) \ & = f^prime (a) . , 0 \ displaystyle lim_{ x to a } [ f( x ) – f(a) ] & = 0 \ displaystyle lim_{ x to a } f( x ) – displaystyle lim_{ x to a } f(a) & = 0 \ displaystyle lim_{ x to a } f( x ) & = displaystyle lim_{ x to a } f(a) \ displaystyle lim_{ x to a } f( x ) & = f(a) end{align} $
Sesuai dengan syarat kekontinuan fungsi yaitu $ displaystyle lim_{ x to a } f( x ) = f(a) , $ , maka fungsi $ f(x) , $ kontinu di $ x = a $ . Silahkan baca materi syarat kekontinuan pada artikel “Penerapan Limit pada Kekontinuan Fungsi“.

Catatan: Untuk menentukan turunan suatu fungsi, kita tidak perlu menggunakan definisi turunan seperti di atas, karena akan rumit dan sulit. Kita akan langsung menggunakan turunan masi-masing seperti turunan fungsi aljabar, fungsi trigonometri, dan turunan fungsi lainnya.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *