Luas Segi Empat Tali Busur

         Salah satu penerapan trigonometri adalah untuk menentukan luas segi empat tali busur yang akan dibahas pada artikel kali ini. Untuk memudahkan dalam mempelajarinya, sebaiknya kita baca dulu materi “Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga“, “Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi“, dan “Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku“.

Rumus Luas Segi Empat Tali Busur

       Bangun segi empat tali busur adalah sebuah bangun datar yang memiliki empat sisi dimana keempat sisinya ada pada sebuah lingkaran. Jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada segi empat tali busur adalah $ 180^circ $ . Untuk lebih jelas, perhatikan segi empat tali busur ABCD berikut.

Luas segi empat tali busur ABCD adalah :
   $ begin{align} L = sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} end{align} $
dengan $ s = frac{a+b+c+d}{2} $

Pembuktian Rumus luas segi empat tali busurnya :
Misalkan panjang $ AB = a, , BC = b, , CD = c, , AD = a $
*). Perhatikan sudut B dan D, jumlahnya $ 180^circ $
$ B + D = 180^circ rightarrow D = 180^circ – B $
Sehingga dengan sudut-sudut berelasi diperoleh :
$ cos D = cos (180^circ – B) rightarrow cos D = – cos B $
$ sin D = sin (180^circ – B) rightarrow sin D = sin B $
*). Aturan cosinus untuk menentukan panjang AC
Segitiga BAC, $ AC^2 = a^2 + b^2 – 2ab cos B $
Segitiga DAC, $ AC^2 = c^2 + d^2 – 2cd cos D rightarrow AC^2 = c^2 + d^2 – 2cd (-cos B) $
*). Panjang AC sama dari kedua segitiga BAC dan DAC
$ begin{align} AC^2 & = AC^2 \ a^2 + b^2 – 2ab cos B & = c^2 + d^2 – 2cd (-cos B) \ a^2 + b^2 – 2ab cos B & = c^2 + d^2 + 2cd cos B \ cos B & = frac{a^2 +b^2 – c^2 – d^2}{2(ab+cd)} end{align} $
*). Bentuk pemfaktoran : $ X^2 – Y^2 = (X+Y)(X-Y) $
*). Identitas trigonometri : $ sin ^2 B + cos ^2 B = 1 $
Misalkan $ s = frac{a+b+c+d}{2} $
$ begin{align} sin ^2 B & = 1 – cos ^2 B \ sin ^2 B & = (1 + cos B )(1 – cos B ) \ & = left(1 + frac{a^2 +b^2 – c^2 – d^2}{2(ab+cd)} right)left(1 – frac{a^2 +b^2 – c^2 – d^2}{2(ab+cd)} right) \ & = frac{a^2 + b^2 + 2ab – (c^2 + d^2 – 2cd)}{2(ab+cd)} . frac{c^2 + d^2 + 2cd – (a^2 + b^2 – 2ab)}{2(ab+cd)} \ & = frac{[(a+b)^2 – (c-d)^2]}{2(ab+cd)} . frac{[(c+d)^2 – (a-b)^2]}{2(ab+cd)} \ & = frac{(a+b+c-d)(a+b-c+d)}{2(ab+cd)} . frac{(c+d+a-b)(c+d-a+b)}{2(ab+cd)} \ & = frac{4(s-d)(s-c)}{2(ab+cd)} . frac{4(s-b)(s-a)}{2(ab+cd)} \ sin ^2 B & = frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} \ sin B & = sqrt{frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ab+cd)^2} } \ sin B & = frac{2}{(ab+cd)} sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} end{align} $
*). Menentukan luas segitiga :
$ text{Luas BAC } = frac{1}{2}absin B $
$ text{Luas DAC } = frac{1}{2}cdsin D = frac{1}{2}cdsin B $
*). Menentukan luas segi empat tali busur ABCD :
$ begin{align} text{Luas ABCD } & = text{Luas BAC } + text{Luas DAC } \ & = frac{1}{2}absin B + frac{1}{2}cdsin B \ & = frac{1}{2}(ab+cd)sin B \ & = frac{1}{2}(ab+cd). frac{2}{(ab+cd)} sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \ & = sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} end{align} $
Jadi, terbukti luas segi empat tali busurnya.

Baca juga  Soal dan Pembahasan Rumus Penjumlahan Sudut pada Trigonometri

Contoh :
Perhatikan gambar berikut. Titik A, B, C, dan D ada pada lingkaran L dengan panjang AB = 1, BC = 2, CD = 3 dan AD = 4.

Tentukan luas segi empat ABCD tersebut?
Penyelesaian :
Misalkan $ a = 1, , b = 2, , c = 3, , d = 4 $
*). Menentukan nilai $ s $
$ s = frac{a+b+c+d}{2} = frac{1+2+3+4}{2} = 5 $
*). Menentukan luas segi empat tali busur ABCD :
$ begin{align} L & = sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \ & = sqrt{(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} \ & = sqrt{4.3.2.1} \ & = 2sqrt{6} end{align} $
Jadi, luas segi empat tali busurnya adalah $ 2 sqrt{6} $ .

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *