Materi Pertidaksamaan Trigonometri

        Pertidaksamaan Trigonometri merupakan pertidaksamaan yang memuat bentuk trigonometri seperti sin, cos, tan, sec, csc, dan cot. Yang namanya pertidaksamaan pasti akan memuat tanda ketaksamaan seperti $ >, , geq , , leq, , $ dan $ < , $ . Untuk memudahkan mempelajari materi pertidaksamaan trigonometri, kita harus menguasai dulu materi “penyelesaian persamaan trigonometri“. Untuk bisa menyelesaikan bentuk pertidaksamaan trigonometri, maka kita harus mampu menyelesaikan persamaan trigonometrinya dulu.

Penyelesaian Pertidaksamaan Trigonometri

       Secara garis besar, apapun jenis pertidaksamaannya, penyelesaiannya menggunakan langkah umum penyelesaian pertidaksamaan yang bisa kita baca pada materi “Pertidaksamaan secara Umum“. Hanya saja kali ini pertidaksamaan yang melibatkan bentuk trigonometri yang tentu akan lebih sulit lagi.

Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan trigonometri :
i). Tentukan besar sudut pembuat nolnya (akar-akarnya) dengan cara ubah semua tanda ketaksamaan menjadi persamaan ( = ), lalu sesesaikan persamaan yang terbentuk untuk mencari akar-akarnya.

ii). Semua akar-akarnya kita kita gambar pada garis bilangan dan tentukan tanda setiap daerah yang terbentuk ( + atau – ).

iii). Arsir daerah yang diminta (arsir positif kalau tanda ketaksamaannya lebih dari ( > ) atau arsir negatif kalau tanda ketaksamaannya kurang dari ( < ) ).

iv). Buat himpunan penyelesaiannya dari daerah arsiran yang terbentuk.

Contoh :
1). Tentukan himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan trigonometri $ 2sin x leq 1 , $ untuk interval $ 0 leq x leq 360^circ $
Penyelesaian :
*). Menentukan akar-akar persamaannya
$ begin{align} 2sin x & leq 1 , , , , , text{(bagi 2)} \ sin x & leq frac{1}{2} \ sin x & = frac{1}{2} \ x & = { -210^circ , , 30^circ , , 150^circ , , 390^circ } end{align} $
Nilai $ x , $ yang kita ambil adalah yang mendekati interval yang diminta ($ 0 leq x leq 360^circ $ ) .
*). Buat garis bilangan dan menentukan tandanya

Cek tanda ( + atau – ) : dengan uji titik ( dalam trigonometri adalah sudutnya) .
Daerah $ -210^circ leq x leq 30^circ , $ kita pilih nilai $ x = 0^circ $ , lalu kita uji ke pertidaksamaan :
$ 2sin x leq 1 rightarrow 2sin x – 1 leq 0 $
$ x = 0^circ rightarrow 2sin x – 1 = 2sin 0^circ – 1 = 2.0 -1 = -1 , $ (hasilnya negatif).
Karena ketika $ x = 0^circ , $ kita uji dan nilainya negatif, maka daerah interval $ -210^circ leq x leq 30^circ , $ bernilai negatif. Dan untuk daerah interval yang lainnya, tandanya selang-seling dengan patokan daerah interval $ -210^circ leq x leq 30^circ $ .
*). Daerah yang diarsir adalah daerah bertanda negatif karena yang diminta adalah kurang dari ( $ leq $ ) .
*). Menentukan himpunan penyelesaian :
$ HP_1 = { -210^circ leq x leq 30^circ vee 150^circ leq x leq 390^circ } $
Tapi yang diminta adalah interval $ x , $ yaitu : $ 0^circ leq x leq 360^circ $
Sehingga solusinya adalah irisan dari $ HP_1 $ dan syarat interval $ 0^circ leq x leq 360^circ $
$ HP = HP_1 cup { 0^circ leq x leq 360^circ} = { 0^circ leq x leq 30^circ vee 150^circ leq x leq 360^circ } $
irisan masksudnya himpunan yang memenuhi kedua himpunan, untuk lebih lengkapnya, silahkan baca materi irisan pada artikel “Pertidaksamaan secara Umum“.
Jadi, solusinya adalah $ HP = { 0^circ leq x leq 30^circ vee 150^circ leq x leq 360^circ } $

Baca juga  Ukuran Sudut - Derajat, Radian, dan Putaran

2). Himpunan penyelesaian dari $ 2cos ^2 x > 3sin x + 3 , $ pada interval $ 0 leq x leq 2pi , $ adalah …?
Penyelesaian :
*). Gunakan identitas untuk menyamakan trigonometrinya yaitu :
$ sin ^2 x + cos ^2 x = 1 rightarrow cos ^2 x = 1 – sin ^2 x $
*). Menentukan akar-akarnya :
$ begin{align} 2cos ^2 x & > 3sin x + 3 \ 2( 1 – sin ^2 x ) & > 3sin x + 3 \ 2 – 2 sin ^2 x & > 3sin x + 3 \ 2 sin ^2 x + 3sin x + 1 & > 0 \ 2 sin ^2 x + 3sin x + 1 & = 0 \ (2 sin x + 1) ( sin x + 1) & = 0 \ (2 sin x 1) = 0 vee ( sin x + 1) & = 0 \ sin x = – frac{1}{2} vee sin x & = -1 end{align} $
*). Disini kita langsung menentukan besar sudut yang memenuhi persamaan :
$ sin x = – frac{1}{2} rightarrow x = -30^circ = -frac{pi}{6} , , x = 210^circ = frac{7pi}{6} , , x = 330^circ = frac{11pi}{6} , , x = 390^circ = frac{13pi}{6}$
$ sin x = – 1 rightarrow x = 270^circ = frac{3pi}{2} $
Akar-akar yang kita pilih yang berdekatan dengan interval $ 0 leq x leq 2pi $
*). Menentukan garis bilangan, tanda , dan arsirannya.

Cek $ x = 0^circ rightarrow 2 sin ^2 x + 3sin x + 1 = 2 sin ^2 0^circ + 3sin 0^circ + 1 = 1 , $ (positif) . Artinya daerah yang memuat $ x = 0^circ , $ bertanda positif, dan daerah lainnya selang seling tandanya.
Yang di arsir daerah bertanda positif karena permintaannya lebih dari ( > ).
*). Dari daerah yang diarsir dan interval $ 0 leq x leq 2pi , $ , maka solusinya adalah $ HP = {0^circ < x < frac{7pi}{6} vee frac{3pi}{2} < x < frac{11pi}{6} } $
Jadi, solusinya : $ HP = {0^circ < x < frac{7pi}{6} vee frac{3pi}{2} < x < frac{11pi}{6} } $

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *