Menentukan Akar – Akar Persamaan Kuadrat (PK)

Persamaan Kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 , $ memiliki variabel/peubah $ x , $ (nilai $ x , $ bisa diganti atau disubstitusikan dengan sembarang nilai), nilai $ x , $ yang menyebabkan nilai dari PK $ ax^2 + bx + c , $ sama dengan nol disebut sebagai akar-akar atau penyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut dengan $ x , $ merupakan suatu bilangan real. Setiap persamaan kuadrat biasanya memiliki akar paling banyak dua (karena pangkat dua), ini artinya persamaan kuadrat juga bisa saja tidak memiliki akar (maksudnya akar-akarnya tidak real).

Contoh 1.

PK : $ x^2 -3x-10=0 , $ memiliki akar-akar $ x = -2 , $ dan $ x = 5 , $, karena kedua nilai $ x , $ tersebut menyebabkan nilai dari $ x^2 -3x-10 , $ sama dengan nol. Cekla kebenarannya!
Penyelesaian :
Untuk mengetahui kebenarannya, langsung saja kita substitusikan nilai $ x = -2 , $ dan $ x = 5 , $ ke PK nya :
$begin{align} x=-2 rightarrow x^2 -3x-10 & = (-2)^2 -3.(-2)-10 \ & = 4 + 6 – 10 \ & = 0 \ x=5 rightarrow x^2 -3x-10 & = (5)^2 -3.5-10 \ & = 25 -15- 10 \ & = 0 end{align}$
Setelah kita substitusikan nilai $ x = -2 , $ dan $ x = 5 , $ , ternyata hasilnya benar sama dengan nol, artinya kedua nilai $ x , $ tersebut adalah benar akar-akar dari PK $ x^2 -3x-10=0 $ .
Contoh 2.

Apakah $ x = 1 , $ merupakan akar-akar dari PK $ x^2 -3x-10=0 , $ ?
Penyelesaian :
Langsung kita substitusi nilai $ x = 1 , $ ke PK nya
$begin{align} x=1 rightarrow x^2 -3x-10 & = (1)^2 -3.1-10 \ & = 1-3 – 10 \ & = -12 \ end{align}$
Setelah disubstitusi nilai $ x = 1 , $ ke PKnya, ternyata hasilnya tidak nol, itu artinya $ x = 1 , $ bukan akar dari PK $ x^2 -3x-10=0 $ .

         Bagaimana sobat, sudah mengertikan apa itu yang dimaksud dengan akar-akar atau penyelesaian dari suatu persamaan? Mudah-mudahan sudah ya sobat. Selanjutnya kita akan membahas tentang cara menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat.

Menentukan akar – akar PK

         Untuk menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat, kita tidak mungkin akan mensubstitusikan satu-satu nilai $ x , $ sehingga diperoleh sama dengan nol.
Ada tiga cara menentukan akar-akar suatu PK yaitu :
1). Pemfaktoran
2). Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
3). Rumus ABC

1). Pemfaktoran

Dalam pemfaktoran digunakan sifat perkalian berikut :

Jika $ ab=0 , $ , maka $ a = 0 , $ atau $ b = 0 $

Untuk teknik pemfaktoran PK $ ax^2 +bx + c = 0 , $ dibagi menjadi dua berdasarkan nilai $ a , $ yaitu nilai $ a = 1 , $ dan $ a neq 1 $

(i). Kasus pertama : nilai $ a = 1 $

PK $ ax^2 +bx + c = 0 , $ dapat difaktorkan menjadi $ (x+p)(x+q) = 0 , $ dengan syarat $ p , $ dan $ q , $ memenuhi : $ p + q = b , $ dan $ p.q = c $

Contoh

Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ x^2-2x-8=0 , $ ?
Penyelesaian :
$clubsuit ,$ PK $ x^2-2x-8=0 rightarrow a = 1, , b = -2, , c = -8 $
$ left. begin{array}{c} p+q = -2 \ p.q = -8 end{array} right} , p=2 , , , text{ dan } , , , q = -4 $
$clubsuit ,$ sehingga pemfaktorannya : $ (x+p)(x+q) = 0 $
$begin{align} x^2-2x-8 & = 0 \ (x+p)(x+q) & = 0 \ (x+2)(x+(-4)) & = 0 \ (x+2)(x-4) & = 0 \ (x+2)=0 rightarrow x & = -2 \ (x-4) = 0 rightarrow x & = 4 end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = -2 , $ atau $ x = 4 heartsuit $
(ii). Kasus kedua : nilai $ a neq 1 $

*). PK $ ax^2 +bx + c = 0 , $ dapat difaktorkan menjadi $ a(x+frac{p}{a})(x+frac{q}{a}) = 0 , $ dengan syarat $ p , $ dan $ q , $ memenuhi : $ p + q = b , $ dan $ p.q = ac $
atau cara yang kedua (caranya hampir mirip) :
**). PK $ ax^2 +bx + c = 0 , $ dapat difaktorkan menjadi $ (ax+p)(x+q) = 0 , $ dengan syarat $ p , $ dan $ q , $ memenuhi : $ p + aq = b , $ dan $ p.q = c $

Contoh

Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ 2x^2 – x -10 =0 , $ ?
Penyelesaian : cara I :
$spadesuit , $ PK $ 2x^2 – x -10 = 0 rightarrow a = 2, , b = -1, , c = -10 $
$ left. begin{array}{c} p+q = -1 \ p.q = 2.(-10) = -20 end{array} right} , p=-5 , , , text{ dan } , , , q = 4 $
$spadesuit , $ sehingga pemfaktorannya : $ a(x+frac{p}{a})(x+frac{q}{a}) = 0 $
$begin{align} 2x^2 – x -10 & = 0 \ a(x+frac{p}{a})(x+frac{q}{a}) & = 0 \ 2(x+frac{-5}{2})(x+frac{4}{2}) & = 0 \ 2(x-frac{5}{2})(x+2) & = 0 \ (x-frac{5}{2})(x+2) & = 0 \ (x-frac{5})=0 rightarrow x & = frac{5}{2} \ (x+2) = 0 rightarrow x & = -2 end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = frac{5}{2} , $ atau $ x = -2 heartsuit $
Penyelesaian : cara II:
$spadesuit , $ PK $ 2x^2 – x -10 = 0 rightarrow a = 2, , b = -1, , c = -10 $
$ left. begin{array}{c} p+aq = -1 rightarrow p+2q=-1 \ p.q = -10 end{array} right} , p=-5 , , , text{ dan } , , , q = 2 $
$spadesuit , $ sehingga pemfaktorannya : $ (ax+p)(x+q) = 0 $
$begin{align} 2x^2 – x -10 & = 0 \ (ax+p)(x+q) & = 0 \ (2x-5)(x+2) & = 0 \ (2x-5)=0 rightarrow x & = frac{5}{2} \ (x+2) = 0 rightarrow x & = -2 end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = frac{5}{2} , $ atau $ x = -2 heartsuit $
2). Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna

Melengkapkan kuadrat sempurna artinya mengubah bentuk $ ax^2 + bx + c = 0 , $ menjadi bentuk kuadrat sempurna yaitu $ (x+p)^2 = q , $ dengan $ q geq 0 $ . Cara ini dipakai bila persamaan kuadrat sulit difaktorkan.
Sifat yang digunakan :

$x^2+px=(x+frac{p}{2})^2 – (frac{p}{2})^2 , $ dan $ x^2-px=(x-frac{p}{2})^2 – (frac{p}{2})^2 $

catatan : Nilai $ a , $ harus dibuat sama dengan 1 terlebih dulu dengan cara dibagi.

Contoh

Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ 3x^2-6x+1=0 , $ ?
Penyelesaian :
$clubsuit ,$ PK $ 3x^2-6x+1=0 rightarrow a = 3 , , b = -6, , c = 1 $
$clubsuit ,$ sehingga pemfaktorannya : $ (x+p)(x+q) = 0 $
$begin{align} 3x^2-6x+1 & =0 , , , , text{(pindahkan c = 1 ke ruas kanan)} \ 3x^2-6x & = -1 , , , , text{(bagi 3 agar a = 1 )} \ x^2-2x & = frac{-1}{3} \ & left[ text{gunakan } x^2-px =(x-frac{p}{2})^2 – (frac{p}{2})^2 right] \ (x-frac{2}{2})^2 – (frac{2}{2})^2 & = frac{-1}{3} \ (x-1)^2 – (1)^2 & = frac{-1}{3} \ (x-1)^2 – 1 & = frac{-1}{3} \ (x-1)^2 & = frac{-1}{3} + 1 \ (x-1)^2 & = frac{2}{3} \ (x-1) & = pm sqrt{frac{2}{3} } \ x & = 1 pm sqrt{frac{2}{3} } = 1 pm frac{1}{3}sqrt{6} end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = 1 + frac{1}{3}sqrt{6} , $ atau $ x = 1 – frac{1}{3}sqrt{6} heartsuit $
3). Rumus ABC

Penyelesaian PK $ ax^2 +bx + c = 0 , $ dapat diselesaikan dengan rumus ABC :

Rumus ABC : $ x = frac{-b pm sqrt{b^2-4ac}}{2a} $

Rumus ABC ini dapat digunakan untuk semua jenis pertidaksamaan yang akar-akarnya real.
Catatan : nilai $ D = b^2-4ac , $ disebut nilai Diskriminan ($D$) dari PK $ ax^2 +bx + c = 0 , $ yang digunakan untuk menentukan jenis-jenis akarnya.
Untuk pembuktian rumus ABC ini, dapat menggunakan cara kedua yaitu dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Jika sobat tertarik untuk melihat pembuktiannya, silahkan klik link ini : Cara pembuktian Rumus ABC dengan kuadrat sempurna.


Contoh

Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ 2x^2 – 5x -1 =0 , $ ?
Penyelesaian :
$spadesuit , $ PK $ 2x^2 – 5x -1 =0 rightarrow a = 2, , b = -5, , c = -1 $
$spadesuit , $ Dengan rusmus ABC
$begin{align} x & = frac{-b pm sqrt{b^2-4ac}}{2a} \ x & = frac{-(-5) pm sqrt{(-5)^2-4.2.(-1)}}{2.2} \ x & = frac{5 pm sqrt{25+8}}{4} \ x & = frac{5 pm sqrt{33}}{4} \ x = frac{5 + sqrt{33}}{4} , text{ atau } , & , , x = frac{5 – sqrt{33}}{4} end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = frac{5 + sqrt{33}}{4} , $ atau $ x = frac{5 – sqrt{33}}{4} heartsuit $

         Akar-akar persamaan kuadrat sangat penting dalam materi persamaan kuadrat karena setelah kita mengenal bentuk umum persamaan kuadrat maka kita akan melanjutkan dengan menentukan akar-akarnya. Biasanya akar-akar yang dipelajari adalah sebatas akar-akar bilangan real untuk tingkat SMP dan SMA, semetara akar-akar tidak real (imajiner) hanya sebatas syaratnya saja (tidak sampai menentukan akar-akar imajinernya).

Baca juga  Rumus Rumus Cepat Persamaan Kuadrat

         Tapi kita tidak cukup hanya tahu tentang cara menetukan akar-akarnya, karena terkadang soal-soal tertentu sudah diketahui operasi akar-akarnya dan sudah diketahui jenis-jenis akarnya. Artinya tidak cukup bagi kita hanya sebatas bisa mencari akar-akarnya saja, tapi harus lebih dari itu.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *