Operasi Akar-akar Persamaan Kuadrat

         Persamaan Kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 , $ secara umum mempunyai dua akar, misalkan $ x_1 , $ dan $ x_2 $ . Operasi akar-akar yang dimaksud adalah operasi penjumlahan $(x_1+x_2)$, perkalian $(x_1.x_2)$, dan pengurangan $(x_1-x_2)$. Kalau secara konsep, untuk menentukan hasil jumlah, perkalian, dan pengurangan akar-akarnya kita harus menentukan nilai akar-akarnya terlebih dahulu misalnya dengan menggunakan pemfaktoran atau kuadrat sempurna atau rumus ABC, setelah itu baru kita tentukan operasi akar-akarnya. Hanya saja jika kita menentukan akar-akarnya dulu, maka butuh waktu lama, sehingga dengan rumus operasi akar-akar yang ada akan lebih mudah dan cepat.
Berikut operasi akar-akarnya :

(i). $ x_1 + x_2 = frac{-b}{a} $
(ii). $ x_1 . x_2 = frac{c}{a} $
(iii). $ x_1 – x_2 = pm frac{sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 – 4ac $

         Untuk beberapa soal persamaan kuadrat, operasi akar-akar ketiga rumus di atas belum cukup karena rumus tersebut hanya untuk akar-akar pangkat satu. Ini artinya kita butuh beberapa rumus bantu agar mudah dalam menyelesaikan soal-soal yang ada.
Beberapa rumus bantu yang berguna :

1. Jumlah kuadrat : $ x_1^2+x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1.x_2 $
2. Kuadrat jumlah : $ (x_1+x_2)^2 $
3. Selisih kuadrat : $ x_1^2 – x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 – x_2) $
4. Kuadrat selisih : $ (x_1 – x_2 )^2 $
5. Jumlah pangkat tiga :
$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_3)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) $
6. Selisih pangkat tiga :
$ x_1^3 – x_2^3 = (x_1-x_3)^3+3x_1x_2(x_1-x_2) $
7. Jumlah pangkat empat : $ x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 – 2(x_1x_2)^2 $
8. Selisih pangkat empat : $ x_1^4 – x_2^4 = (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) $

         Tentu masih kurang rasanya jika hanya disediakan rumus-rumus seperti di atas. Ada baiknya kita lihat contoh-contoh soalnya berikut.

Contoh 1.

Persamaan kuadrat $ x^2 – 3x -7 = 0 , $ memiliki akar-akar $ x_1 , $ dan $ x_2 , $ . Tentukan nilai dari :
a. $ x_1 + x_2 , , , $ b. $ x_1^3 + x_2^3 $
Penyelesaian :
Jika kita menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, maka akan sulit. Hal ini karena PK $ x^2 – 3x -7 = 0 , $ sulit untuk difaktorkan. Sehingga kita langsung menggunakan operasi akar-akarnya.
$spadesuit , $ PK $ x^2 – 3x -7 = 0 rightarrow a = 1, , b = -3, , c = -7 $
a. $ x_1 + x_2 = frac{-b}{a} = frac{-(-3)}{1} = 3 , $
sehingga nilai $ x_1 + x_2 = 3 $
b. $ x_1^3 + x_2^3 $
$begin{align} x_1^3 + x_2^3 & = (x_1+x_3)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) \ & = (frac{-b}{a})^3-3.frac{c}{a}.(frac{-b}{a}) \ & = (frac{-(-3)}{1})^3-3.frac{-7}{1}.(frac{-(-3)}{1}) \ & = (3)^3-3.(-7).(3) \ & = 27 + 63 = 90 end{align}$
sehingga nilai $ x_1^3 + x_2^3 = 90 $
Contoh 2.

Persamaan kuadrat $ x^2 +px +q = 0 , $ memiliki akar-akar $ x_1 , $ dan $ x_2 , $ . Tentukan nilai dari jumlah kuadrat akar-akar dikalikan dengan selisih kuadrat akar-akarnya?
Penyelesaian :
$spadesuit , $ PK $ x^2 +px +q = 0 rightarrow a = 1, , b = p, , c = q $
yang ditanyakan adalah $ (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) $
$spadesuit , $ Menyelesaiakan soalnya
$begin{align} & (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) \ & = [(x_1 + x_2)^2 – 2x_1.x_2].[(x_1 + x_2)(x_1 – x_2)] \ & = [(frac{-b}{a})^2 – 2.frac{c}{a}].[(frac{-b}{a})(pm frac{sqrt{D}}{a})] \ & = [(frac{-b}{a})^2 – 2.frac{c}{a}].[(frac{-b}{a})(pm frac{sqrt{b^2-4ac}}{a})] \ & = [(frac{-p}{1})^2 – 2.frac{q}{1}].[(frac{-p}{1})(pm frac{sqrt{p^2-4.1.q}}{1})] \ & = [p^2 – 2q].[(-p)(pm sqrt{p^2-4q})] \ & = (2pq-p^3).(pm sqrt{p^2-4q}) \ & = (pm sqrt{p^2-4q}) (2pq-p^3) end{align}$
Jadi, nilai $ (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) = (pm sqrt{p^2-4q}) (2pq-p^3) $
Contoh 3.

Jika jumlah akar-akar PK $ x^2 – px +5 =0 , $ sama dengan jumlah kebalikan akar-akar PK $ x^2 – 3x + (p+2) = 0 , $ . Tentukan nilai $ p , $ yang memenuhi kasus ini?
Penyelesaian :
$spadesuit , $ PK1 $ x^2 – px +5 =0 , $ misalkan akar-akarnya $ x_1 , $ dan $ x_2 $
$ x_1 + x_2 = frac{-b}{a} = frac{-(-p)}{1} = p $
$spadesuit , $ PK2 $ x^2 – 3x + (p+2) = 0 , $ misalkan akar-akarnya $ y_1 , $ dan $ y_2 $
$ y_1 + y_2 = frac{-b}{a} = frac{-(-3)}{1} = 3 $
$ y_1 . y_2 = frac{c}{a} = frac{p+2}{1} = p+2 $
$spadesuit , $ Jumlah akar-akar PK1 sama dengan jumlah kebalikan akar-akar PK2, dapat ditulis : $ x_1 + x_2 = frac{1}{y_1} + frac{1}{y_2} $
$spadesuit , $ Menentukan nilai $ p $
$begin{align} x_1 + x_2 & = frac{1}{y_1} + frac{1}{y_2} \ x_1 + x_2 & = frac{y_1 + y_2}{y_1.y_2} \ p & = frac{3}{p+2} \ p (p+2) & = 3 \ p^2 + 2p – 3& = 0 \ (p+3)(p-1) & = 0 \ p = -3 vee p & = 1 end{align}$
Jadi, nilai $ p , $ yang memenuhi adalah $ p = -3 vee p = 1 $ .

         Operasi akar-akar ini nantinya juga akan berguna dalam menentukan sifat-sifat akar yang akan dibahas pada artikel selanjutnya. Operasi akar-akar persamaan kuadrat sangat berguna karena kita tidak perlu mencari akar-akarnya terlebih dahulu. Untuk membuktikan kebenaran rumus operasi akar-akar, kita bisa menggunakan rumus ABC dimana $ x_1 = frac{-b + sqrt{D}}{2a} , $ dan $ , x_2 = frac{-b – sqrt{D}}{2a} , $, pasti hasilnya akan sesuai dengan rumus di atas yang sudah kita pelajari sebelumnya dan sudah kita aplikasikan ke beberapa contoh soal.

Baca juga  Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

         Selain untuk sifat-sifat akar, operasi akar-akar juga akan sangat berguna untuk materi “menyusun persamaan kuadrat”.Jadi, meskipun sudah lewat materi ini, tetap harus diingat karena akan tetap kita gunakan lagi.

Sebenarnya operasi akar-akar suatu persamaan tidak hanya sebatas pada persamaan kuadrat, akan tetapi juga berlaku untuk operasi akar-akar persamaan suku banyak (polinomial) yang tentu pangkatnya lebih dari dua (bisa berderajat 3, berderajat 4, dan seterusnya).

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *