Perbandingan Trigonometri Sudut Sudut Berelasi

         Materi berikut yang akan kita pelajari adalah Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi. Maksudnya sudut-sudut berelasi disini adalah hubungan nilai perbandingan trigonometri dengan besar sudut ada pada kuadran II, kuadran III, kuadran IV, dan sudut yang besarnya di atas $ 360^circ $. Materi Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi ini sangat penting karena tidak semua sudut yang ada pada kuadran-kuadran nilai trigonometrinya kita hafalkan, akan tetapi kita cukup mengingat nilai trigonometri untuk sudut-sudut pada kuadran I. Baca juga materi yang berkaitan yaitu “Ukuran Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran“, “Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku“, dan “Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran“.

Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut istimewa pada kuadran I

       Sudut-sudut istimewa yang ada pada kuadran I yang dimaksud adalah $ 0^circ , , 30^circ, , 45^circ, , 60^circ, , $ dan $ 90^circ $.
Berikut tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sin, cos, dan tan,

Penjelasan tabel di atas :
Nilai-nilai perbandingan trigonometrinya adalah ,
$ sin 0^circ = 0 , sin 30^circ = frac{1}{2}, sin 45^circ = frac{1}{2}sqrt{2}, sin 60^circ = frac{1}{2}sqrt{3}, sin 90^circ = 1 $
$ cos 0^circ = 1 , cos 30^circ = frac{1}{2}sqrt{3}, cos 45^circ = frac{1}{2}sqrt{2}, cos 60^circ = frac{1}{2}, cos 90^circ = 0 $
$ tan 0^circ = 0 , tan 30^circ = frac{1}{3}sqrt{3} , tan 45^circ = 1 , tan 60^circ = sqrt{3}, tan 90^circ = infty $

Contoh :
1). Tentukan nilai perbandingan trigonometri berikut,
a). $ sin 30^circ . cos 45^circ $
b). $ frac{tan 45^circ . cos 60^circ – sin 30^circ . cos 30^circ}{sin 60^circ} $
Penyelesaian :
a). $ begin{align} sin 30^circ . cos 45^circ = frac{1}{2}. frac{1}{2}sqrt{2} = frac{1}{4} sqrt{2} end{align} $
b). Nilainya,
$ begin{align} frac{tan 45^circ . cos 60^circ – sin 30^circ . cos 30^circ}{sin 60^circ} & = frac{1.frac{1}{2} – frac{1}{2} .frac{1}{2}sqrt{3} }{frac{1}{2}sqrt{3}} \ & = frac{frac{1}{2} – frac{1}{4}sqrt{3} }{frac{1}{2}sqrt{3}} times frac{4}{4} \ & = frac{2 – sqrt{3} }{2sqrt{3}} \ & = frac{2 – sqrt{3} }{2sqrt{3}} times frac{sqrt{3}}{sqrt{3}} \ & = frac{2 sqrt{3} – 3 }{2.3} \ & = frac{2 sqrt{3} }{6} – frac{ 3 }{6} \ & = frac{ sqrt{3} }{3} – frac{ 1 }{2} \ & = frac{ 1 }{3}sqrt{3} – frac{ 1 }{2} end{align} $

Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi

       Sebelumnya sudah ditampilkan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut pada kuadran I. Berikut kita pelajari hubungan sudut-sudut berelasi berbagai kuadran.
Perhatikan rumus hubungan setiap kuadran jika diketahui sudut $ alpha , $ pada kuadran I berikut.

Dari gambar di atas, kita peroleh hubungan kuadrannya :
Kuadran I :
$ sin (90^circ – alpha ) = cos alpha , , cos (90^circ – alpha ) = sin alpha $
$ tan (90^circ – alpha ) = cot alpha $

Baca juga  Soal Dasar Turunan Trigonometri

Kuadran II :
$ sin (90^circ + alpha ) = cos alpha , , cos (90^circ + alpha ) = -sin alpha $
$ tan (90^circ + alpha ) = -cot alpha $
$ sin (180^circ – alpha ) = sin alpha , , cos (180^circ – alpha ) = -cos alpha $
$ tan (180^circ – alpha ) = -tan alpha $

Kuadran III :
$ sin (180^circ + alpha ) = -sin alpha , , cos (180^circ + alpha ) = -cos alpha $
$ tan (180^circ + alpha ) = tan alpha $
$ sin (270^circ – alpha ) = -cos alpha , , cos (270^circ – alpha ) = -sin alpha $
$ tan (270^circ – alpha ) = cot alpha $

Kuadran IV :
$ sin (270^circ + alpha ) = -cos alpha , , cos (270^circ + alpha ) = sin alpha $
$ tan (270^circ + alpha ) = -cot alpha $
$ sin (360^circ – alpha ) = -sin alpha , , cos (360^circ – alpha ) = cos alpha $
$ tan (360^circ – alpha ) = -tan alpha $

Sudut lebih besar $ 360^circ $ :
$ sin (360^circ + alpha ) = sin alpha , , cos (360^circ + alpha ) = cos alpha $
$ tan (360^circ + alpha ) = tan alpha $

$ sin (n.360^circ + alpha ) = sin alpha , , cos (n.360^circ + alpha ) = cos alpha $
$ tan (n.360^circ + alpha ) = tan alpha $
dengan $ n , $ bilangan asli.

Catatan :
Dari hubungan semua relasi diatas, dapat disimpulkan :
*). Jika menggunakan ($ 90^circ pm alpha $) atau ($ 270^circ pm alpha $) , maka trigonometrinya berubah yaitu sin jadi cos, cos jadi sin, tan jadi cot, sec jadi csc, dan csc jadi sec. (menggunakan $ 90^circ , $ dan $ 270^circ$).
*). Jika menggunakan ($ 180^circ pm alpha $) atau ($ 360^circ pm alpha $) , maka trigonometrinya tetap (tidak berubah). (menggunakan $ 180^circ , $ dan $ 360^circ$).

Contoh :
2). Tentukan nilai perbandingan trigonometri dari :
a). $ sin 120^circ $
b). $ cos 150^circ $
c). $ tan 135^circ $
d). $ tan 210^circ $
e). $ cos 210^circ $
f). $ sin 300^circ $
g). $ cos 330^circ $
Penyelesaian :
a). Kuadran II : $ sin 120^circ , $ ada dua cara :
Cara I : $ sin 120^circ = sin (90^circ + 30^circ) = cos 30^circ = frac{1}{2}sqrt{3} $
Cara II : $ sin 120^circ = sin (180^circ – 60^circ) = sin 60^circ = frac{1}{2}sqrt{3} $

b). Kuadran II : $ cos 150^circ , $ ada dua cara :
Cara I : $ cos 150^circ = cos (90^circ + 60^circ) = -sin 60^circ = -frac{1}{2}sqrt{3} $
Cara II : $ cos 150^circ = cos (180^circ – 30^circ) = -cos 30^circ = -frac{1}{2}sqrt{3} $

c). Kuadran II : $ tan 135^circ , $ ada dua cara :
Cara I : $ tan 135^circ = tan (90^circ + 45^circ) = -cot 45^circ = – frac{1}{tan 45^circ } = -frac{1}{1} = -1 $
Cara II : $ tan 135^circ = tan (180^circ – 45^circ) = -tan 45^circ = -1 $

d). Kuadran III : $ tan 210^circ , $ ada dua cara :
Cara I : $ tan 210^circ = tan (180^circ + 30^circ) = tan 30^circ = frac{1}{3}sqrt{3} $
Cara II : $ tan 210^circ = tan (270^circ – 60^circ) = cot 60^circ = frac{1}{tan 60^circ } = frac{1}{ sqrt{3} } = frac{1}{3}sqrt{3} $

Baca juga  Cara Mencari sin cos 21 dan 24 derajat

e). Kuadran III : $ tan 210^circ , $ ada dua cara :
Cara I : $ cos 210^circ = cos (180^circ + 30^circ) = -cos 30^circ = -frac{1}{2}sqrt{3} $
Cara II : $ cos 210^circ = cos (270^circ – 60^circ) = -sin 60^circ = – frac{1}{2}sqrt{3} $

f). Kuadran IV : $ tan 210^circ , $ ada dua cara :
Cara I : $ sin 300^circ = sin (270^circ + 30^circ) = -cos 30^circ = – frac{1}{2}sqrt{3} $
Cara II : $ sin 300^circ = sin (360^circ – 60^circ) = -sin 60^circ = – frac{1}{2}sqrt{3} $

g). Kuadran IV : $ cos 330^circ , $ ada dua cara :
Cara I : $ cos 330^circ = cos (270^circ + 60^circ) = sin 60^circ = frac{1}{2}sqrt{3} $
Cara II : $ cos 330^circ = cos (360^circ – 30^circ) = cos 30^circ = frac{1}{2}sqrt{3} $

3). Tentukan nilai perbandingan trigonometri dari
a). $ sin 360^circ $
b). $ cos 420^circ $
c). $ tan 510^circ $
d). $ sin 1290^circ $
Penyelesaian :
a). $ sin 360^circ = sin (360^circ + 0^circ ) = sin 0^circ = 0 $
b). $ cos 420^circ = cos (360^circ + 60^circ) = cos 60^circ = frac{1}{2} $
c). $ tan 510^circ = tan (360^circ + 150^circ) = tan 150^circ = tan (180^circ – 30^circ) = – tan 30^circ = frac{1}{3}sqrt{3} $
d). $ sin 1290^circ = sin (3times 360^circ + 210^circ) = sin 210^circ = sin (180^circ + 30^circ) = -sin 30^circ = -frac{1}{2} $

Catatan :
Untuk nilai negatif atau psositif, bergantung dari sudut awal pada soal, terletak pada kuadran berapa. Misalkan, nilai $ cos 210^circ , $, sudut $ 210^circ , $ ada pada kuadran III sehingga nilai cos nya negatif, sehingga bentuk sederhananya ditambahkan negatif. perhatikan perhitungan berikut,
Cara I : $ cos 210^circ = cos (180^circ + 30^circ) = cos 30^circ , $ , bentuk sederhananya $ cos 210^circ = cos 30^circ , $ , karena cos di kuadran III negatif, maka bentuk sederhananya diberi negatif.
$ cos 210^circ = – cos 30^circ = – frac{1}{2}sqrt{3} $ .

Cara II : $ cos 210^circ = cos (270^circ – 60^circ) = sin 60^circ , $ , bentuk sederhananya $ cos 210^circ = sin 60^circ , $ , karena cos di kuadran III negatif, maka bentuk sederhananya diberi negatif.
$ cos 210^circ = – sin 60^circ = – frac{1}{2}sqrt{3} $ .

Sudut Komplemen pada Kuadran I
       Sudut komplemen maksudnya sudut yang jumlahnya $ 90^circ , $ pada kuadran I. Berikut bentuk-bentuk perbandingan trigonometri sudut-sudut komplemen :
$ sin theta = cos (90^circ – theta) $
$ cos theta = sin (90^circ – theta) $
$ tan theta = cot (90^circ – theta) $
$ cot theta = tan (90^circ – theta) $
$ sec theta = csc (90^circ – theta) $
$ csc theta = sec (90^circ – theta) $

Pada sudut komplemen, terjadi perubahan trigonometri yaitu :
sin berubah menjadi cos (dan sebalikny)
tan berubah menjadi cot (dan sebalikny)
sec berubah menjadi csc (dan sebalikny)

Baca juga  Soal dan Pembahasan Persamaan Trigonometri 180304

Contoh :
4). Tentukan perbandingan trigonometri sudut komplemen dari bentuk berikut :
a). $ sin 30^circ $
b). $ cot 60^circ $
c). $ cos 35^circ $
Penyelesaian :
a). $ sin 30^circ = cos ( 90^circ – 30^circ ) = cos 60^circ $
artinya nilai $ sin 30^circ , $ sama dengan $ cos 60^circ $
dimana jumlah sudutnya : $ 30^circ + 60^circ = 90^circ $
b). $ cot 60^circ = tan ( 90^circ – 60^circ ) = tan 30^circ $
artinya nilai $ cot 60^circ , $ sama dengan $ tan 30^circ $
dimana jumlah sudutnya : $ 60^circ + 30^circ = 90^circ $
c). $ cos 35^circ = sin ( 90^circ – 35^circ ) = sin 55^circ $
artinya nilai $ cos 35^circ , $ sama dengan $ sin 55^circ $
dimana jumlah sudutnya : $ 35^circ + 55^circ = 90^circ $

5). Tentukan nilai $ sin ^2 25^circ + sin ^2 40^circ + sin ^2 50^circ + sin ^2 65^circ $ ?
Penyelesaian :
*). Gunakan identitas trigonometri : $ sin ^2 A + cos ^2 A = 1 $
*). Gunakan sudut komplemen :
$ sin 25^circ = cos ( 90^circ – 25^circ ) = cos 65^circ $
Sehingga : $ sin ^2 25^circ = cos ^2 65^circ $
$ sin 40^circ = cos ( 90^circ – 40^circ ) = cos 50^circ $
Sehingga : $ sin ^2 40^circ = cos ^2 50^circ $
*). Menentukan hasilnya :
$ begin{align} & sin ^2 25^circ + sin ^2 40^circ + sin ^2 50^circ + sin ^2 65^circ \ & = cos ^2 65^circ + cos ^2 50^circ + sin ^2 50^circ + sin ^2 65^circ \ & = ( cos ^2 65^circ + sin ^2 65^circ) + ( cos ^2 50^circ + sin ^2 50^circ ) \ & = ( 1 ) + ( 1 ) \ & = 2 end{align} $
Jadi, nilai $ sin ^2 25^circ + sin ^2 40^circ + sin ^2 50^circ + sin ^2 65^circ = 2 $ .

Nilai fungsi trigonometri untuk seudut negatif
       Berikut nilai fungsi trigonometri untuk sudut negatif :
$ sin (- alpha ) = – sin alpha $
$ cos (- alpha ) = cos alpha $
$ tan (- alpha ) = – tan alpha $
$ sec (- alpha ) = sec alpha $
$ csc (- alpha ) = – csc alpha $
$ cot (- alpha ) = – cot alpha $

Contoh :
Tentukan nilai fungsi trigonometri berikut :
a). $ sin (- 30^circ ) $
b). $ cos (- 60^circ ) $
c). $ sin (- 210^circ ) $
d). $ cos (- 210^circ ) $
Penyelesaian :
a). $ sin (- 30^circ ) = – sin 30^circ = – frac{1}{2} $
b). $ cos (- 60^circ ) = cos 60^circ = frac{1}{2} $
c). $ sin (- 210^circ ) = – sin 210^circ = – sin (180^circ + 30^circ) = -[-sin 30^circ] = sin 30^circ = frac{1}{2} $
d). $ cos (- 210^circ ) = cos 210^circ = cos (180^circ + 30^circ) = -cos 30^circ = – frac{1}{2}sqrt{3} $

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *