Rumus Penjumlahan Pengurangan dan Perkalian Trigonometri

         Materi Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Trigonometri merupakan kelanjutan dari materi “Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut“. Silahkan juga baca materi “Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi“. Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Trigonometri ini biasanya akan banyak kita gunakan pada materi integral dan limit. Jadi, harus kita ingat rumus-rumus ini karena akan sangat berguna untuk materi lainnya dalam matematika.

Rumus Perkalian Trigonometri untuk Sinus dan Cosinus

       Misalkan diketahui dua sudut yaitu A dan B, berikut rumus perkalian antara sinus dan cosinus pada sudut A dan B :
$ begin{align} sin A cos B & = frac{1}{2}[ sin (A+B) + sin (A- B) ] \ cos A sin B & = frac{1}{2}[ sin (A+B) – sin (A- B) ] \ cos A cos B & = frac{1}{2}[ cos (A+B) + cos (A- B) ] \ sin A sin B & = – frac{1}{2}[ cos (A+B) – cos (A- B) ] end{align} $

Pembuktian Rumus Perkalian trigonometri untuk sinus dan cosinus :
*). Kita menggunakan rumus jumlah dan selisih sudut, yaitu :
$ begin{align} sin (A + B) & = sin A cos B + cos A sin B \ sin (A – B) & = sin A cos B – cos A sin B \ cos (A+B) & = cos A cos B – sin A sin B \ cos (A-B) & = cos A cos B + sin A sin B \ end{align} $

$clubsuit $ Pembuktian Rumus : $ sin A cos B = frac{1}{2}[ sin (A+B) + sin (A- B) ] $
$ begin{array}{cc} sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B & \ sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B & + \ hline sin (A + B) + sin (A – B ) = 2 sin A cos B & end{array} $
Sehingg terbukti : $ sin A cos B = frac{1}{2}[ sin (A + B) + sin (A – B ) ] $

$clubsuit $ Pembuktian Rumus : $ cos A sin B = frac{1}{2}[ sin (A+B) – sin (A- B) ] $
$ begin{array}{cc} sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B & \ sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B & – \ hline sin (A + B) – sin (A – B ) = 2 cos A sin B & end{array} $
Sehingg terbukti : $ cos A sin B = frac{1}{2}[ sin (A+B) – sin (A- B) ] $

$clubsuit $ Pembuktian Rumus : $ cos A cos B = frac{1}{2}[ cos (A+B) + cos (A- B) ] $
$ begin{array}{cc} cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B & \ cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B & + \ hline cos (A + B) + cos (A – B ) = 2 cos A cos B & end{array} $
Sehingg terbukti : $ cos A cos B = frac{1}{2}[ cos (A+B) + cos (A- B) ] $

$clubsuit $ Pembuktian Rumus : $ sin A sin B = -frac{1}{2}[ cos (A+B) – cos (A- B) ] $
$ begin{array}{cc} cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B & \ cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B & – \ hline cos (A + B) – cos (A – B ) = -2 sin A sin B & end{array} $
Sehingg terbukti : $ sin A sin B = -frac{1}{2}[ cos (A+B) – cos (A- B) ] $

Contoh :
1). Tentukan nilai dari trigonometri berikut :
a). $ sin 75^circ cos 15^circ $
b). $ cos 67frac{1}{2}^circ sin 22frac{1}{2}^circ $
c). $ cos 105^circ cos 15^circ $
d). $ sin 127frac{1}{2}^circ sin 97frac{1}{2}^circ $
Penyelesaian :
a). Gunakan rumus : $ sin A cos B = frac{1}{2}[ sin (A+B) + sin (A- B) ] $
dengan besar sudut $ A = 75^circ , $ dan $ B = 15^circ $
$ begin{align} sin A cos B & = frac{1}{2}[ sin (A+B) + sin (A- B) ] \ sin 75^circ cos 15^circ & = frac{1}{2}[ sin (75^circ +15^circ ) + sin (75^circ – 15^circ ) ] \ & = frac{1}{2}[ sin (90^circ ) + sin (60^circ ) ] \ & = frac{1}{2}[ 1 + frac{1}{2}sqrt{3} ] \ & = frac{1}{4}( 2 + sqrt{3} ) end{align} $
Jadi, nilai $ sin 75^circ cos 15^circ = frac{1}{4}( 2 + sqrt{3} ) $

b). Gunakan rumus : $ cos A sin B = frac{1}{2}[ sin (A+B) – sin (A- B) ] $
dengan besar sudut $ A = 67frac{1}{2}^circ , $ dan $ B = 22frac{1}{2}^circ $
$ begin{align} cos A sin B & = frac{1}{2}[ sin (A+B) – sin (A- B) ] \ cos 67frac{1}{2}^circ sin 22frac{1}{2}^circ & = frac{1}{2}[ sin ( 67frac{1}{2}^circ + 22frac{1}{2}^circ ) – sin (67frac{1}{2}^circ – 22frac{1}{2}^circ) ] \ & = frac{1}{2}[ sin ( 90^circ ) – sin (45^circ) ] \ & = frac{1}{2}[ 1 – frac{1}{2} sqrt{2} ] \ & = frac{1}{4}( 2 – sqrt{2} ) end{align} $
Jadi, nilai $ cos 67frac{1}{2}^circ sin 22frac{1}{2}^circ = frac{1}{4}( 2 – sqrt{2} ) $

Baca juga  Cara Mencari sin cos 21 dan 24 derajat

c). Gunakan rumus : $ cos A cos B = frac{1}{2}[ cos (A+B) + cos (A- B) ] $
dengan besar sudut $ A = 105^circ , $ dan $ B = 15^circ $
$ begin{align} cos A cos B & = frac{1}{2}[ cos (A+B) + cos (A- B) ] \ cos 105^circ cos 15^circ & = frac{1}{2}[ cos (105^circ + 15^circ ) + cos (105^circ – 15^circ ) ] \ & = frac{1}{2}[ cos (120^circ ) + cos (90^circ ) ] \ & = frac{1}{2}[ – cos (60^circ ) + 0 ] \ & = frac{1}{2}[ – frac{1}{2} + 0 ] \ & = – frac{1}{4} end{align} $
Jadi, nilai $ cos 105^circ cos 15^circ = – frac{1}{4} $

d). Gunakan rumus : $ sin A sin B = -frac{1}{2}[ cos (A+B) – cos (A- B) ] $
dengan besar sudut $ A = 127frac{1}{2}^circ , $ dan $ B = 97frac{1}{2}^circ $
$ begin{align} sin A sin B & = -frac{1}{2}[ cos (A+B) – cos (A- B) ] \ sin 127frac{1}{2}^circ sin 97frac{1}{2}^circ & = -frac{1}{2}[ cos (127frac{1}{2}^circ + 97frac{1}{2}^circ) – cos (127frac{1}{2}^circ – 97frac{1}{2}^circ ) ] \ & = -frac{1}{2}[ cos (225^circ) – cos (30^circ ) ] \ & = -frac{1}{2}[ cos (180^circ + 45^circ) – cos (30^circ ) ] \ & = -frac{1}{2}[ -cos (45^circ) – cos (30^circ ) ] \ & = -frac{1}{2}[ -frac{1}{2}sqrt{2} – frac{1}{2}sqrt{3} ] \ & = frac{1}{4} ( sqrt{2} + sqrt{3} ) end{align} $
Jadi, nilai $ sin 127frac{1}{2}^circ sin 97frac{1}{2}^circ = frac{1}{4} ( sqrt{2} + sqrt{3} ) $

Rumus Trigonometri Penjumlahan dan Pengurangan

       Misalkan diketahui dua sudut P dan Q, berlaku rumus penjumlahan dan pengurangannya :
$ begin{align} sin P + sin Q & = 2 sin frac{1}{2}(P+Q) cos frac{1}{2}(P-Q) \ sin P – sin Q & = 2 cos frac{1}{2}(P+Q) sin frac{1}{2}(P-Q) \ cos P + cos Q & = 2 cos frac{1}{2}(P+Q) cos frac{1}{2}(P-Q) \ cos P – cos Q & = -2 sin frac{1}{2}(P+Q) sin frac{1}{2}(P-Q) \ tan P + tan Q & = frac{2sin(P+Q)}{cos (P+Q) + cos (P-Q) } \ tan P – tan Q & = frac{2sin(P-Q)}{cos (P+Q) + cos (P-Q) } end{align} $

Pembuktian rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri :
*). Kita menggunakan rumus perkalian trigonometri sebelumnya.
*). Misalkan $ A + B = P , $ dan $ A – B = Q $ , maka dengan eliminasi kedua persamaan kita peroleh : $ A = frac{1}{2}(P+Q) , $ dan $ A = frac{1}{2}(P-Q) $
*). Substitusi bentuk permisalan di atas ke persamaan yang digunakan.

$spadesuit $ Pembuktian Rumus : $ sin P + sin Q = 2 sin frac{1}{2}(P+Q) cos frac{1}{2}(P-Q) $
$ begin{align} sin A cos B & = frac{1}{2}[ sin (A+B) + sin (A- B) ] \ sin frac{1}{2}(P+Q) cos frac{1}{2}(P-Q) & = frac{1}{2}[ sin P + sin Q ] \ 2sin frac{1}{2}(P+Q) cos frac{1}{2}(P-Q) & = sin P + sin Q end{align} $
Sehingga tebukti rumus $ sin P + sin Q = 2 sin frac{1}{2}(P+Q) cos frac{1}{2}(P-Q) $

$spadesuit $ Pembuktian Rumus : $ sin P – sin Q = 2 cos frac{1}{2}(P+Q) sin frac{1}{2}(P-Q) $
$ begin{align} cos A sin B & = frac{1}{2}[ sin (A+B) – sin (A- B) ] \ cos frac{1}{2}(P+Q) sin frac{1}{2}(P – Q) & = frac{1}{2}[ sin P – sin Q ] \ 2 cos frac{1}{2}(P+Q) sin frac{1}{2}(P – Q) & = sin P – sin Q end{align} $
Sehingga tebukti rumus $ sin P – sin Q = 2 cos frac{1}{2}(P+Q) sin frac{1}{2}(P-Q) $

$spadesuit $ Pembuktian Rumus : $ cos P + cos Q = 2 cos frac{1}{2}(P+Q) cos frac{1}{2}(P-Q) $
$ begin{align} cos A cos B & = frac{1}{2}[ cos (A+B) + cos (A- B) ] \ cos frac{1}{2}(P+Q) cos frac{1}{2}(P-Q) & = frac{1}{2}[ cos P + cos Q ] \ 2cos frac{1}{2}(P+Q) cos frac{1}{2}(P-Q) & = cos P + cos Q end{align} $
Sehingga tebukti rumus $ cos P + cos Q = 2 cos frac{1}{2}(P+Q) cos frac{1}{2}(P-Q) $

$spadesuit $ Pembuktian Rumus : $ cos P – cos Q = -2 sin frac{1}{2}(P+Q) sin frac{1}{2}(P-Q) $
$ begin{align} sin A sin B & = -frac{1}{2}[ cos (A+B) – cos (A- B) ] \ sin frac{1}{2}(P+Q) sin frac{1}{2}(P-Q) & = -frac{1}{2}[ cos P – cos Q ] \ -2sin frac{1}{2}(P+Q) sin frac{1}{2}(P-Q) & = cos P – cos Q end{align} $
Sehingga tebukti rumus $ cos P – cos Q = -2 sin frac{1}{2}(P+Q) sin frac{1}{2}(P-Q) $

$spadesuit $ Pembuktian Rumus : $ tan P + tan Q = frac{2sin(P+Q)}{cos (P+Q) + cos (P-Q) } $
*). Gunakan rumus :
$ sin (P+Q) = sin Pcos Q + cos P sin Q , $ dan $ 2 cos P cos Q = cos (P+Q) + cos (P-Q) $
$ begin{align} tan P + tan Q & = frac{sin P}{cos P} + frac{sin Q}{cos Q} \ & = frac{sin Pcos Q}{cos P cos Q} + frac{cos P sin Q }{cos P cos Q} \ & = frac{sin Pcos Q + cos P sin Q }{cos P cos Q} \ & = frac{sin (P+Q) }{cos P cos Q} \ & = frac{2sin (P+Q) }{2cos P cos Q} \ & = frac{2sin (P+Q) }{cos (P+Q) + cos (P-Q)} end{align} $
Sehingga tebukti rumus $ tan P + tan Q = frac{2sin(P+Q)}{cos (P+Q) + cos (P-Q) } $

Baca juga  Soal dan Pembahasan Rumus Penjumlahan Sudut pada Trigonometri

$spadesuit $ Pembuktian Rumus : $ tan P – tan Q = frac{2sin(P-Q)}{cos (P+Q) + cos (P-Q) } $
*). Gunakan rumus :
$ sin (P-Q) = sin Pcos Q – cos P sin Q , $ dan $ 2 cos P cos Q = cos (P+Q) + cos (P-Q) $
$ begin{align} tan P – tan Q & = frac{sin P}{cos P} – frac{sin Q}{cos Q} \ & = frac{sin Pcos Q}{cos P cos Q} – frac{cos P sin Q }{cos P cos Q} \ & = frac{sin Pcos Q – cos P sin Q }{cos P cos Q} \ & = frac{sin (P-Q) }{cos P cos Q} \ & = frac{2sin (P-Q) }{2cos P cos Q} \ & = frac{2sin (P-Q) }{cos (P+Q) + cos (P-Q)} end{align} $
Sehingga tebukti rumus $ tan P + tan Q = frac{2sin(P-Q)}{cos (P+Q) + cos (P-Q) } $

Contoh :
2). Tentukan nilai dari :
a). $ sin 105^circ + sin 15 ^circ $
b). $ sin 105^circ – sin 15 ^circ $
c). $ cos 105^circ + cos 15 ^circ $
d). $ tan 105^circ + tan 15 ^circ $
Penyelesaian :
a). Nilai $ sin 105^circ + sin 15 ^circ $
$begin{align} sin P + sin Q & = 2 sin frac{1}{2}(P+Q) cos frac{1}{2}(P-Q) \ sin 105^circ + sin 15 ^circ & = 2 sin frac{1}{2}(105^circ+ 15 ^circ) cos frac{1}{2}(105^circ-15 ^circ) \ & = 2 sin (60 ^circ) cos (45 ^circ) \ & = 2 .frac{1}{2}sqrt{3} . frac{1}{2}sqrt{2} \ & = frac{1}{2}sqrt{6} end{align} $
Jadi, nilai $ sin 105^circ + sin 15 ^circ = frac{1}{2}sqrt{6} $

b). Nilai $ sin 105^circ – sin 15 ^circ $
$begin{align} sin P – sin Q & = 2 cos frac{1}{2}(P+Q) sin frac{1}{2}(P-Q) \ sin 105^circ – sin 15 ^circ & = 2 cos frac{1}{2}(105^circ+ 15 ^circ) sin frac{1}{2}(105^circ-15 ^circ) \ & = 2 cos (60 ^circ) sin (45 ^circ) \ & = 2 .frac{1}{2} . frac{1}{2}sqrt{2} \ & = frac{1}{2}sqrt{2} end{align} $
Jadi, nilai $ sin 105^circ – sin 15 ^circ = frac{1}{2}sqrt{2} $

c). Nilai $ cos 105^circ + cos 15 ^circ $
$begin{align} cos P + cos Q & = 2 cos frac{1}{2}(P+Q) cos frac{1}{2}(P-Q) \ cos 105^circ + cos 15 ^circ & = 2 cos frac{1}{2}(105^circ+ 15 ^circ) cos frac{1}{2}(105^circ-15 ^circ) \ & = 2 cos (60 ^circ) cos (45 ^circ) \ & = 2 .frac{1}{2} . frac{1}{2}sqrt{2} \ & = frac{1}{2}sqrt{2} end{align} $
Jadi, nilai $ cos 105^circ + cos 15 ^circ = frac{1}{2}sqrt{2} $

d). Nilai $ tan 105^circ + tan 15 ^circ $
$begin{align} tan P + tan Q & = frac{2sin(P+Q)}{cos (P+Q) + cos (P-Q) } \ tan 105^circ + tan 15 ^circ & = frac{2sin(105^circ +15 ^circ )}{cos (105^circ + 15 ^circ ) + cos (105^circ – 15 ^circ) } \ & = frac{2sin(120^circ )}{cos (120 ^circ ) + cos (90 ^circ) } \ & = frac{2sin(180^circ – 60^circ )}{cos (180^circ – 60^circ ) + cos (90 ^circ) } \ & = frac{2sin( 60^circ )}{ – cos (60^circ ) + cos (90 ^circ) } \ & = frac{2 . frac{1}{2} sqrt{3} }{ – frac{1}{2} + 0 } \ & = frac{sqrt{3} }{ – frac{1}{2} } \ & = -2sqrt{3} end{align} $
Jadi, nilai $ tan 105^circ + tan 15 ^circ = -2sqrt{3} $

3). Tentukan nilai dari :
a). $ cos 20^circ cos 40^circ cos 60^circ cos 80^circ $
b). $ sin 84^circ tan 42 ^circ + cos 84^circ $
Penyelesaian :
a). Misalkan nilai $ cos 20^circ cos 40^circ cos 60^circ cos 80^circ = x $
artinya kita mencari nilai $ x , $ .
*). Gunakan sudut rangkap sinus : $ sin 2A = 2sin A cos A $
Kedua ruas dikalikan $ 2sin 20^circ , $ dan rumus $ 2sin A cos A = sin 2A $
$ begin{align} x & = cos 20^circ cos 40^circ cos 60^circ cos 80^circ \ 2sin 20^circ. x & = 2sin 20^circ . cos 20^circ cos 40^circ cos 60^circ cos 80^circ \ 2sin 20^circ. x & = (2sin 20^circ cos 20^circ ) cos 40^circ cos 60^circ cos 80^circ \ 2sin 20^circ. x & = (sin 2 times 20^circ ) cos 40^circ cos 60^circ cos 80^circ \ 2sin 20^circ. x & = (sin 40^circ ) cos 40^circ cos 60^circ cos 80^circ \ 2sin 20^circ. x & = frac{1}{2}(2 sin 40^circ cos 40^circ ) cos 60^circ cos 80^circ \ 2sin 20^circ. x & = frac{1}{2}( sin 2 times 40^circ ) cos 60^circ cos 80^circ \ 2sin 20^circ. x & = frac{1}{2}( sin 80^circ ) cos 60^circ cos 80^circ \ 2sin 20^circ. x & = frac{1}{2}. frac{1}{2}( 2sin 80^circ cos 80^circ ) cos 60^circ \ 2sin 20^circ. x & = frac{1}{4}( sin 2 times 80^circ ) cos 60^circ \ 2sin 20^circ. x & = frac{1}{4}( sin 160^circ ) cos 60^circ \ 2sin 20^circ. x & = frac{1}{4} sin (180^circ – 20^circ ) cos 60^circ \ 2sin 20^circ. x & = frac{1}{4} sin ( 20^circ ) . frac{1}{2} \ 2sin 20^circ. x & = frac{1}{8} sin ( 20^circ ) \ x & = frac{ frac{1}{8} sin ( 20^circ ) }{ 2sin 20^circ} \ x & = frac{1}{16} end{align} $
Jadi, nilai $ cos 20^circ cos 40^circ cos 60^circ cos 80^circ = frac{1}{16} $

Baca juga  Contoh Soal dan Penyelesaian Rumus Penjumlahan Trigonometri

b). Nilai $ sin 84^circ tan 42 ^circ + cos 84^circ $
*). Gunakan : $ sin 2 A = 2sin A cos A , $ dan $ tan A = frac{sin A}{cos A } $
serta $ cos 2A = 1 – 2sin ^2 A $
*). Menenylesaikan soal :
$ begin{align} sin 84^circ tan 42 ^circ + cos 84^circ & = sin 2 times 42^circ tan 42 ^circ + cos 2 times 42^circ \ & = 2sin 42^circ cos 42^circ . frac{sin 42 ^circ}{cos 42 ^circ} + (1 – 2sin ^2 42^circ ) \ & = 2sin ^2 42^circ + (1 – 2sin ^2 42^circ ) \ & = 1 end{align} $
Jadi, nilai $ sin 84^circ tan 42 ^circ + cos 84^circ = 1 $ .

4). Tentukan jumlah $ n , $ suku pertama dari deret
$ sin a + sin (a + b) + sin (a+2b) + sin (a + 3b) + … + sin (a + (n-1)b) $
Pnyelesaian :
*). Soal ini adalah jumlah deret dengan suku-suku berbentuk trigonometri.
*). Jumlah $ n , $ suku pertama ($ s_n$) maksudnya :
$ s_n = sin a + sin (a + b) + sin (a+2b) + sin (a + 3b) + … + sin (a + (n-1)b) $
*). Kita gunakan rumus :
$ sin A sin B = -frac{cos (A+B) – cos (A – B)} , $ atau $ 2sin A sin B = cos (A- B) – cos (A + B ) $
*). Semua suku kita kalilikan dengan $ 2 sin frac{b}{2} , $ , kemudian dijumlahkan semua.
$ begin{array}{cccccc} 2sin a sin frac{b}{2} & = & cos (a – frac{b}{2} ) & – & cos ( a + frac{b}{2} ) & \ 2sin (a + b) sin frac{b}{2} & = & cos (a + frac{b}{2} ) & – & cos ( a + frac{3b}{2} ) & \ 2sin (a + 2b) sin frac{b}{2} & = & cos (a + frac{3b}{2} ) & – & cos ( a + frac{5b}{2} ) & \ vdots & & vdots & & vdots & \ 2sin (a + (n-1)b) sin frac{b}{2} & = & cos (a + (n – frac{3}{2})b ) & – & cos ( a + (n – frac{1}{2})b ) & + \ hline \ 2 sin frac{b}{2} s_n & = & cos (a – frac{b}{2} ) & – & cos ( a + (n – frac{1}{2})b ) & end{array} $
*). Gunakan rumus : $ cos A – cos B = -2 sin frac{1}{2}(A + B) sin frac{1}{2}(A-B) $
$ begin{align} 2 sin frac{b}{2} s_n & = cos (a – frac{b}{2} ) – cos ( a + (n – frac{1}{2})b ) \ & = -2 sin frac{1}{2} left( (a – frac{b}{2} ) + ( a + (n – frac{1}{2})b ) right) sin frac{1}{2} left( (a – frac{b}{2} ) – ( a + (n – frac{1}{2})b ) right) \ 2 sin frac{b}{2} s_n & = 2 sin left( a + frac{n-1}{2} b right) sin left( frac{n}{2} b right) \ sin frac{b}{2} s_n & = sin left( a + frac{n-1}{2} b right) sin left( frac{n}{2} b right) \ s_n & = frac{ sin left( a + frac{n-1}{2} b right) sin left( frac{n}{2} b right) }{sin frac{b}{2}} end{align} $
Jadi, jumlah $ n , $ suku pertamanya adalah : $ begin{align} s _ n = frac{ sin left( a + frac{n-1}{2} b right) sin left( frac{n}{2} b right) }{sin frac{b}{2}} end{align} $

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *