Rumus Trigonometri Sudut Ganda

         Pada artikel kali ini kita akan mempelajari materi Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda. Sudut ganda yang dimaksud adalah $ 2alpha , $ dan juga bentuk $ frac{1}{2} alpha $ . Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaik baca juga materi “Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut“.

Rumus Trigonometri Sudut Ganda untuk $ sin 2alpha , , cos 2alpha , , tan 2alpha $

       Berikut rumus-rumus trigonometri sudut ganda :
$ sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha $
$ cos 2alpha = cos ^2 alpha – sin ^2 alpha $
$ cos 2alpha = 2cos ^2 alpha – 1 $
$ cos 2alpha = 1 – 2sin ^2 alpha $
$ tan 2alpha = frac{2tan alpha }{1 – tan ^2 alpha } $

Pembuktian rumus trigonometri sudut ganda :
$clubsuit $ Rumus $ sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha $
*). Ingat rumus sinus jumlah sudut : $ sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B $
$ begin{align} sin 2alpha & = sin ( alpha + alpha ) \ & = sin alpha cos alpha + cos alpha sin alpha \ & = 2 sin alpha cos alpha end{align} $
Sehingga terbukti : $ sin 2alpha = 2 sin alpha cos alpha $

$ clubsuit $ Rumus : $ cos 2alpha = cos ^2 alpha – sin ^2 alpha $
*). Ingat rumus $ cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B $
$ begin{align} cos 2alpha & = cos (alpha + alpha ) \ & = cos alpha cos alpha – sin alpha sin alpha \ & = cos ^2 alpha – sin ^2 alpha end{align} $
Sehingga terbukti : $ cos 2alpha = cos ^2 alpha – sin ^2 alpha $

$ clubsuit $ Rumus : $ cos 2alpha = 2cos ^2 alpha – 1 $
*). Ingat rumus identitas : $ sin ^2 A + cos ^2 A = 1 rightarrow sin ^2 A = 1 – cos ^2 A $
$ begin{align} cos 2alpha & = cos ^2 alpha – sin ^2 alpha \ & = cos ^2 alpha – (1 – cos ^2 alpha ) \ & = 2cos ^2 alpha – 1 end{align} $
Sehingga terbukti : $ cos 2alpha = 2cos ^2 alpha – 1 $

$ clubsuit $ Rumus : $ cos 2alpha = 1 – 2sin ^2 alpha $
*). Ingat rumus identitas : $ sin ^2 A + cos ^2 A = 1 rightarrow cos ^2 A = 1 – sin ^2 A $
$ begin{align} cos 2alpha & = cos ^2 alpha – sin ^2 alpha \ & = ( 1 – sin ^2 alpha ) – sin ^2 alpha \ & = 1 – 2sin ^2 alpha end{align} $
Sehingga terbukti : $ cos 2alpha = 1 – 2sin ^2 alpha $

Baca juga  Penyelesaian Persamaan Trigonometri

$ clubsuit $ Rumus : $ tan 2alpha = frac{2tan alpha }{1 – tan ^2 alpha } $
*). Ingat rumus : $ tan (A + B) = frac{tan A + tan B}{1 – tan A tan B} $
$ begin{align} tan 2alpha & = tan ( alpha + alpha ) \ & = frac{tan alpha + tan alpha }{1 – tan alpha tan alpha } \ & = frac{2tan alpha }{1 – tan ^2 alpha } end{align} $
Sehingga terbukti : $ tan 2alpha = frac{2tan alpha }{1 – tan ^2 alpha } $

Contoh :
1). Diketahui nilai $ sin A = – frac{3}{5} , $ dengan A di kuadran III. Tentukan nilai $ sin 2A, , cos 2A, , $ dan $ tan 2A $ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ cos A, , $ dan $ tan A $
diketahui $ sin A = – frac{3}{5} rightarrow sin A = – frac{3}{5} = frac{de}{mi} $
artinya sisi depan adalah 3 dan sisi miring adalah 5, berdasarkan pythagoras diperoleh sisi sampingnya adalah 4.
Sehingga, nilai $ cos A = frac{sa}{mi} = – frac{4}{5} , $ dan $ tan A = frac{de}{sa} = frac{3}{4} $
Catatan : di kuadran III, nilai sin negatif, nilai cos negatif, dan nilai Tan positif.
*). Menentukan hasilnya ,
$ begin{align} sin 2A & = 2 sin A cos A \ & = 2 . (- frac{3}{5}) . (- frac{4}{5} ) \ & = frac{24}{25} \ cos 2A & = 2 cos ^2 A – 1 \ & = 2. ( – frac{4}{5} )^2 – 1 \ & = 2. frac{16}{25} – 1 \ & = frac{32}{25} – frac{25}{25} \ & = frac{7}{25} \ tan 2A & = frac{2tan A}{1 – tan ^2 A} \ & = frac{2. frac{3}{4} }{1 -( frac{3}{4} )^2 } \ & = frac{ frac{6}{4} }{1 – frac{9}{16} } \ & = frac{ frac{6}{4} }{1 – frac{9}{16} } . frac{16}{16} \ & = frac{ 24}{16 – 9 } \ & = frac{ 24}{7 } end{align} $
Jadi, diperoleh : $ sin 2A = frac{24}{25} , , cos 2A = frac{7}{25}, , $ dan $ tan 2A = frac{ 24}{7 } $

Rumus Trigonometri untuk $ sin frac{1}{2} A , , cos frac{1}{2} A, , $ dan $ tan frac{1}{2} A $

       Berikut rumus dasarnya untuk sudut $ frac{1}{2}A $
$ begin{align} sin frac{1}{2} A & = sqrt{frac{1- cos A}{2}} \ cos frac{1}{2} A & = sqrt{frac{1 + cos A}{2}} \ tan frac{1}{2} A & = sqrt{frac{1 – cos A}{1 + cos A}} = frac{sin A}{1+ cos A} = frac{1- cos A}{sin A } end{align} $

Pembuktian Rumus sudut $ frac{1}{2} A $ :
Misalkan $ 2alpha = A rightarrow alpha = frac{1}{2} A $
Substitusi bentuk permisalan di atas ke persamaan yan digunakan.
$spadesuit $ Rumus : $ sin frac{1}{2} A = sqrt{frac{1- cos A}{2}} $
*). gunakan rumus : $ cos 2 alpha = 1 – 2sin ^2 alpha $
$ begin{align} cos 2 alpha & = 1 – 2sin ^2 alpha \ cos A & = 1 – 2sin ^2 frac{1}{2} A \ 2sin ^2 frac{1}{2} A & = 1 – cos A \ sin ^2 frac{1}{2} A & = frac{1 – cos A}{2} \ sin frac{1}{2} A & = sqrt{frac{1 – cos A}{2} } end{align} $
Sehingga terbukti : $ sin frac{1}{2} A = sqrt{frac{1- cos A}{2}} $

Baca juga  Soal Limit Trigonometri TOP 1

$spadesuit $ Rumus : $ cos frac{1}{2} A = sqrt{frac{1 + cos A}{2}} $
*). gunakan rumus : $ cos 2 alpha = 2cos ^2 alpha – 1 $
$ begin{align} cos 2 alpha & = 2cos ^2 alpha – 1 \ cos A & = 2cos ^2 frac{1}{2}A – 1 \ 2cos ^2 frac{1}{2}A & = 1 + cos A \ cos ^2 frac{1}{2}A & = frac{1 + cos A}{2} \ cos frac{1}{2}A & = sqrt{frac{1 + cos A}{2} } end{align} $
Sehingga terbukti : $ cos frac{1}{2} A = sqrt{frac{1 + cos A}{2}} $

$spadesuit $ Rumus : $ tan frac{1}{2} A = sqrt{frac{1 – cos A}{1 + cos A}} = frac{sin A}{1+ cos A} = frac{1- cos A}{sin A } $
*). gunakan rumus : $ tan frac{1}{2}A = frac{sin frac{1}{2}A }{cos frac{1}{2}A } , , sin frac{1}{2} A = sqrt{frac{1- cos A}{2}} , , cos frac{1}{2} A = sqrt{frac{1 + cos A}{2}} $
*). Rumus Pertama :
$ begin{align} tan frac{1}{2} A & = frac{sin frac{1}{2}A }{cos frac{1}{2}A } \ & = frac{ sqrt{frac{1- cos A}{2}} }{ sqrt{frac{1 + cos A}{2}} } \ tan frac{1}{2}A & = sqrt{ frac{1- cos A}{1 + cos A} } \ end{align} $
*). Rumus kedua :
$ begin{align} tan frac{1}{2}A & = sqrt{ frac{1- cos A}{1 + cos A} } \ tan frac{1}{2}A & = sqrt{ frac{1- cos A}{1 + cos A} times frac{1 + cos A}{1 + cos A} } \ & = sqrt{ frac{1- cos ^2 A}{(1 + cos A)^2} } \ & = sqrt{ frac{sin ^2 A }{(1 + cos A)^2} } \ & = frac{sin A}{1+ cos A} \ end{align} $
*). Rumus ketiga :
$ begin{align} tan frac{1}{2}A & = sqrt{frac{1- cos A}{1 + cos A} } \ tan frac{1}{2}A & = sqrt{frac{1- cos A}{1 + cos A} times frac{1 – cos A}{1 – cos A} } \ & = sqrt{frac{(1- cos A)^2}{1 – cos ^2 A} } \ & = sqrt{frac{(1- cos A)^2}{sin ^2 A } } \ & = frac{1- cos A}{sin A } end{align} $
Sehingga terbukti : $ tan frac{1}{2} A = sqrt{frac{1 – cos A}{1 + cos A}} = frac{sin A}{1+ cos A} = frac{1- cos A}{sin A } $

Contoh :
2). Hitunglah nilai dari :
a). $ sin 15^circ $
b). $ cos 67,5^circ $
c). $ tan 22,5^circ $
Penyelesaian :
a). $ frac{1}{2}A = 15^circ rightarrow A = 30^circ $
$ begin{align} sin frac{1}{2} A & = sqrt{frac{1 – cos A}{2} } \ sin 15^circ & = sqrt{frac{1 – cos 30^circ}{2} } \ & = sqrt{frac{1 – frac{1}{2} sqrt{3} }{2} } \ & = sqrt{frac{2 – sqrt{3} }{4} } \ & = frac{1}{2} sqrt{2 – sqrt{3} } end{align} $
Jadi, nilai $ sin 15^circ = frac{1}{2} sqrt{2 – sqrt{3} } $

Baca juga  Cara Mencari Nilai cos dan tangen 18 derajat

b). $ frac{1}{2}A = 67,5^circ rightarrow A = 135^circ $
nilai $ cos 135^circ = cos ( 180^circ – 45^circ ) = -cos 45^circ = -frac{1}{2} sqrt{2} $
Lihat materi ” Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi
$ begin{align} cos frac{1}{2} A & = sqrt{frac{1 + cos A}{2} } \ cos 67,5^circ & = sqrt{frac{1 + cos 135^circ}{2} } \ & = sqrt{frac{1 + (-frac{1}{2} sqrt{2} )}{2} } \ & = sqrt{frac{2 – sqrt{2} }{4} } \ & = frac{1}{2} sqrt{2 – sqrt{2} } end{align} $
Jadi, nilai $ cos 67,5^circ = frac{1}{2} sqrt{2 – sqrt{2} } $

c). $ frac{1}{2}A = 22,5^circ rightarrow A = 45^circ $
$ begin{align} tan frac{1}{2} A & = frac{sin A}{1+ cos A} \ tan 22,5^circ & = frac{sin 45^circ}{1+ cos 45^circ} \ & = frac{frac{1}{2} sqrt{2} }{1+ frac{1}{2} sqrt{2} } \ & = frac{ sqrt{2} }{2+ sqrt{2} } \ & = frac{ sqrt{2} }{2+ sqrt{2} } times frac{2 – sqrt{2} }{2 – sqrt{2} } \ & = frac{ 2sqrt{2} – 2 }{4 – 2} \ & = frac{ 2sqrt{2} – 2 }{2} \ & = sqrt{2} – 1 end{align} $
Jadi, nilai $ tan 22,5^circ = sqrt{2} – 1 $

Rumus Trigonometri Sudut rangkap tiga untuk $ sin 3alpha , , cos 3alpha , , tan 3alpha $

       Berikut rumus-rumus trigonometri sudut rangkap tiga :
$ sin 3alpha = 3 sin alpha – 4sin ^3 alpha $
$ cos 3alpha = 4cos ^3 alpha – 3cos alpha $
$ tan 3 alpha = frac{3tan alpha – tan ^3 alpha}{1 – 3 tan ^2 alpha } $

Untuk pembuktiannya, coba sendiri dengan cara :
$ sin 3 alpha = sin (2alpha + alpha ) $
$ cos 3 alpha = cos (2alpha + alpha ) $
$ tan 3 alpha = tan (2alpha + alpha ) $

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *