Rumus Trigonometri untuk Selisih dan Jumlah Dua Sudut

         Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut digunakan untuk menentukan nilai trigonometri dengan sudut yaang tidak istimewa. Mialkan, nilai $ sin 75^circ , $ dapat ditentukan dengan memecah sudutnya menjadi $ sin ( 45^circ + 30^circ ) $ . contoh yang lain adalah nilai $ cos 15^circ , $ dapat dipecah menjadi $ cos ( 45^circ – 30^circ ) $ . Untuk memudahkan memahami materi rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut, silahkan baca dulu materi “Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi“, “Koordinat Kutub dan Koordinat Cartesius pada Trigonometri“, “Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga“, “Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku“, dan “jarak antara dua titik“.

Rumus Trigonometri cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut

       Rumus Jumlah dan selisih dua sudut untuk cosinus adalah :
$ begin{align} cos ( alpha + beta ) & = cos alpha cos beta – sin alpha sin beta \ cos ( alpha – beta ) & = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta end{align} $

Pembuktian rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut.
Untuk membuktikan rumus cosinus, ada dua cara yaitu :

Cara I : Menggunakan konsep jarak dua titik
Perhatikan gambar berikut,

$clubsuit $ Gambar di atas adalah lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari $ r $. Dari gambar tersebut, diperoleh $ OC=OB=OD=OA = r , $ dan koordinat titik-titik kutubnya yaitu titik A, titik B, titik C, dan titik D, adalah $ A(r, 0), B(r cos alpha, r sin alpha ), C(r cos(alpha + beta ), r sin(alpha + beta )) $ , dan $ D(r cos beta , -r sin beta ) $.
$clubsuit $ Konsep jarak (AB) dua titik A($x_1,y_1$) dan B($x_2,y_2$) :
$ begin{align} AB & = sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } \ AB^2 & = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 end{align} $
$ clubsuit $ Identitas trigonometri : $ sin ^2 A + cos ^2 A = 1 $
$ clubsuit $ Jarak AC : $ A(r, 0) , $ dan $ C (r cos(alpha + beta ) , r sin(alpha + beta )) $
$ begin{align} AC^2 & = [r cos(alpha + beta ) – r]^2 + [r sin(alpha + beta ) – 0 ]^2 \ & = [r cos(alpha + beta ) – r]^2 + [r sin(alpha + beta ) – 0 ]^2 \ & = r^2 cos ^2 (alpha + beta ) – 2r^2 cos(alpha + beta ) + r^2 + r^2 sin ^2 (alpha + beta ) \ & = r^2 [cos ^2 (alpha + beta ) + sin ^2 (alpha + beta ) ]- 2r^2 cos(alpha + beta ) + r^2 \ & = r^2 [1 ]- 2r^2 cos(alpha + beta ) + r^2 \ AC^2 & = 2r^2 – 2r^2 cos(alpha + beta ) end{align} $
$ clubsuit $ Jarak DB : $ D(r cos beta , -r sin beta ) , $ dan $ B(r cos alpha, r sin alpha ) $
$ begin{align} DB^2 & = [r cos alpha – r cos beta]^2 + [r sin alpha – ( -r sin beta ) ]^2 \ & = [r cos alpha – r cos beta]^2 + [r sin alpha + r sin beta ]^2 \ & = (r^2 cos ^2 alpha – 2r^2 cos alpha cos beta + r^2 cos ^2 beta ) + ( r^2 sin ^2 alpha + 2r^2 sin alpha sin beta + r^2 sin ^2 beta ) \ & = r^2 (cos ^2 alpha + sin ^2 alpha ) + r^2 ( cos ^2 beta + sin ^2 beta) -2r^2 ( cos alpha cos beta – sin alpha sin beta ) \ & = r^2 (1 ) + r^2 ( 1 ) -2r^2 ( cos alpha cos beta – sin alpha sin beta ) \ DB^2 & = 2r^2 -2r^2 ( cos alpha cos beta – sin alpha sin beta ) end{align} $
$ clubsuit $ Panjang AC sama dengan panjang DB
$ begin{align} AC & = DB \ AC^2 & = DB^2 \ 2r^2 – 2r^2 cos(alpha + beta ) & = 2r^2 -2r^2 ( cos alpha cos beta – sin alpha sin beta ) \ cos(alpha + beta ) & = cos alpha cos beta – sin alpha sin beta end{align} $
Sehingga Terbukti : $ cos(alpha + beta ) = cos alpha cos beta – sin alpha sin beta $

Baca juga  Rumus Trigonometri Sudut Ganda

$ clubsuit $ Membuktikan rumus $ cos(alpha – beta ) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta $
Konsep sudut negatif : $ sin (-A) = – sin A , $ dan $ cos ( -A) = cos A $
Menggunakan rumus jumlah dua sudut : $ begin{align} cos(alpha + beta ) & = cos alpha cos beta – sin alpha sin beta end{align} $
$ begin{align} cos(alpha – beta ) & = cos(alpha + (- beta) ) \ & = cos alpha cos (-beta) – sin alpha sin (- beta ) \ & = cos alpha cos beta – sin alpha . (- sin beta) \ & = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta end{align} $
Sehingga terbukti : $ cos(alpha – beta ) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta $

Cara II : Menggunakan aturan cosinus pada segitiga :
Perhatikan gambar berikut,

Pada gambar, lingkaran dengan jari-jari 1 dan pusat lingkaran O. Titik koordinat kutubnya adalah titik P dan titik Q yaitu $ P(cos a , sin a) , $ dan $ Q(cos b , sin b ) , $ serta PO = QO = 1.
$ spadesuit $ Identitas trigonometri : $ sin ^2 A + cos ^2 A = 1 $
$ spadesuit $ Jarak titik P dan Q :
$ begin{align} PQ^2 & = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 \ PQ^2 & = (cos a – cos b)^2 + (sin a – sin b)^2 \ & = (cos ^2 a – 2cos a cos b + cos ^2 a) + (sin ^2 a – 2sin a sin b + sin ^2 a) \ & = ( sin ^2 a + cos ^2 a ) + (sin ^2 b + cos ^2 b ) – 2(cos a cos b + sin a sin b) \ & = (1) + (1 ) – 2(cos a cos b + sin a sin b) \ PQ^2 & = 2 – 2(cos a cos b + sin a sin b) end{align} $
$ spadesuit $ Aturan cosinus pada segitiga POQ
substitusi juga $ PQ^2 = 2 – 2(cos a cos b + sin a sin b) $
$ begin{align} PQ^2 & = PO^2 + QO^2 – 2.PO.QO .cos (a-b) \ PQ^2 & = 1^2 + 1^2 – 2.1.1 . cos (a-b) \ 2 – 2 cos (a-b) & = PQ^2 , , , , , text{(substitusi } PQ^2 ) \ 2 – 2 cos (a-b) & = 2 – 2(cos a cos b + sin a sin b) \ cos (a-b) & = cos a cos b + sin a sin b end{align} $
sehingga terbukti : $ cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b $

Contoh :
1). Tentukan nilai trigonometri berikut :
a). $ cos 75^circ $
b). $ cos 15^circ $
c). $ cos 105^circ $
Penyelesaian :
a). Nilai $ cos 75^circ $
Gunakan rumus : $ cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b $
$ begin{align} cos 75^circ & = cos (45^circ + 30^circ) \ & = cos 45^circ cos 30^circ – sin 45^circ sin 30^circ \ & = frac{1}{2}sqrt{2} . frac{1}{2}sqrt{3} – frac{1}{2}sqrt{2} . frac{1}{2} \ & = frac{1}{4}sqrt{2} (frac{1}{2}sqrt{3} – 1) end{align} $
Sehingga nilai $ cos 75^circ = frac{1}{4}sqrt{2} (sqrt{3} – 1) $

b). Nilai $ cos 15^circ $
Gunakan rumus : $ cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b $
$ begin{align} cos 15^circ & = cos (45^circ – 30^circ) \ & = cos 45^circ cos 30^circ -+ sin 45^circ sin 30^circ \ & = frac{1}{2}sqrt{2} . frac{1}{2}sqrt{3} + frac{1}{2}sqrt{2} . frac{1}{2} \ & = frac{1}{4}sqrt{2} (frac{1}{2}sqrt{3} + 1) end{align} $
Sehingga nilai $ cos 15^circ = frac{1}{4}sqrt{2} (sqrt{3} + 1) $

c). Nilai $ cos 105^circ $
Gunakan rumus : $ cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b $
$ begin{align} cos 105^circ & = cos (60^circ + 45^circ) \ & = cos 60^circ cos 45^circ – sin 60^circ sin 45^circ \ & = frac{1}{2} . frac{1}{2}sqrt{2} – frac{1}{2}sqrt{3} . frac{1}{2} sqrt{2} \ & = frac{1}{4}sqrt{2} (1- sqrt{3}) end{align} $
Sehingga nilai $ cos 105^circ = frac{1}{4}sqrt{2} (1- sqrt{3}) $

Rumus Trigonometri sinus untuk jumlah dan selisih dua sudut

       Rumus Jumlah dan selisih dua sudut untuk sinus adalah :
$ begin{align} sin ( alpha + beta ) & = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta \ sin ( alpha – beta ) & = sin alpha cos beta – cos alpha sin beta \ end{align} $

Pembuktian rumus sinus untuk jumlah dan selisih dua sudut :
*). Sebelumnya telah dipelajari sudut komplemen pada materi “Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi” .
Sudut komplemen : $ sin A = cos (90^circ – A ) , $ dan $ cos A = sin (90^circ – A) $
*). Menenrapkan sudut komplemen dan rumus cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut :
$ begin{align} sin ( alpha + beta ) & = cos [90^circ – ( alpha + beta )] \ & = cos [90^circ – alpha – beta ] \ & = cos [(90^circ – alpha) – beta ] \ & = cos (90^circ – alpha) cos beta + sin (90^circ – alpha) sin beta \ sin ( alpha + beta ) & = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta end{align} $
Jadi, terbukti : $ sin ( alpha + beta ) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta $

Baca juga  Soal dan Pembahasan Rumus Penjumlahan Sudut pada Trigonometri

*). Pembuktian rumus sinus : $ sin ( alpha – beta ) = sin alpha cos beta – cos alpha sin beta $
$ begin{align} sin ( alpha – beta ) & = sin ( alpha +(-beta)) \ & = sin alpha cos (-beta ) + cos alpha sin ( – beta ) \ & = sin alpha cos beta + cos alpha . (- sin beta ) \ sin ( alpha – beta ) & = sin alpha cos beta – cos alpha sin beta end{align} $
Jadi, terbukti : $ sin ( alpha – beta ) = sin alpha cos beta – cos alpha sin beta $

Contoh :
2). Tentukan nilai trigonometri beriktu :
a). $ sin 75^circ $
b). $ sin 15^circ $
penyelesaian :
a). Nilai $ sin 75^circ $
gunakan rumus : $ sin ( alpha + beta ) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta $
$ begin{align} sin 75^circ & = sin ( 45^circ + 30^circ ) \ & = sin 45^circ cos 30^circ + cos 45^circ sin 30^circ \ & = frac{1}{2}sqrt{2}. frac{1}{2}sqrt{3} + frac{1}{2}sqrt{2} . frac{1}{2} \ & = frac{1}{4}sqrt{2}(sqrt{3} + 1) end{align} $
Sehingga nilai $ sin 75^circ = frac{1}{4}sqrt{2}(sqrt{3} + 1) $

b). Nilai $ sin 15^circ $
gunakan rumus : $ sin ( alpha – beta ) = sin alpha cos beta – cos alpha sin beta $
$ begin{align} sin 15^circ & = sin ( 45^circ – 30^circ ) \ & = sin 45^circ cos 30^circ – cos 45^circ sin 30^circ \ & = frac{1}{2}sqrt{2}. frac{1}{2}sqrt{3} – frac{1}{2}sqrt{2} . frac{1}{2} \ & = frac{1}{4}sqrt{2}(sqrt{3} – 1) end{align} $
Sehingga nilai $ sin 15^circ = frac{1}{4}sqrt{2}(sqrt{3} – 1) $

Rumus Trigonometri Tan untuk jumlah dan selisih dua sudut

       Rumus Jumlah dan selisih dua sudut untuk Tan adalah :
$ begin{align} tan ( alpha + beta ) & = frac{tan alpha + tan beta}{1 – tan alpha tan beta } \ tan ( alpha – beta ) & = frac{tan alpha – tan beta}{1 + tan alpha tan beta } \ end{align} $

Pembuktian rumus Tan untuk jumlah dan selisih dua sudut :
*) gunakan rumus sin dan cos jumlah serta selisih sudut, dan $ tan A = frac{sin A}{cos A} $
$ begin{align} tan ( alpha + beta ) & = frac{ sin ( alpha + beta ) }{cos ( alpha + beta )} \ & = frac{sin alpha cos beta + cos alpha sin beta}{cos alpha cos beta – sin alpha sin beta} \ & = frac{sin alpha cos beta + cos alpha sin beta}{cos alpha cos beta – sin alpha sin beta} . frac{frac{1}{cos alpha cos beta}}{frac{1}{cos alpha cos beta}} \ & = frac{frac{sin alpha cos beta + cos alpha sin beta}{cos alpha cos beta}}{frac{cos alpha cos beta – sin alpha sin beta}{cos alpha cos beta}} \ & = frac{frac{sin alpha cos beta }{cos alpha cos beta} + frac{cos alpha sin beta}{cos alpha cos beta}}{frac{ cos alpha cos beta}{cos alpha cos beta} – frac{ sin alpha sin beta}{cos alpha cos beta}} \ & = frac{frac{sin alpha }{cos alpha } + frac{ sin beta}{ cos beta}}{1 – frac{ sin alpha }{cos alpha }frac{ sin beta}{ cos beta}} \ tan ( alpha + beta ) & = frac{ tan alpha + tan beta}{1 – tan alpha tan beta } end{align} $
Sehingga terbukti : $ tan ( alpha + beta ) = frac{ tan alpha + tan beta}{1 – tan alpha tan beta } $

Baca juga  Penyelesaian Persamaan Trigonometri

*). Pembuktian rumus : $ tan ( alpha – beta ) = frac{ tan alpha – tan beta}{1 + tan alpha tan beta } $
*). sudut negatif : $ tan (-A) = – tan A $
$ begin{align} tan ( alpha – beta ) & = tan ( alpha + (- beta )) \ & = frac{ tan alpha + tan (-beta )}{1 – tan alpha tan (-beta ) } \ & = frac{ tan alpha – tan beta }{1 – tan alpha . (- tan beta ) } \ & = frac{ tan alpha – tan beta }{1 + tan alpha tan beta } end{align} $
Sehingga terbukti : $ tan ( alpha – beta ) = frac{ tan alpha – tan beta}{1 + tan alpha tan beta } $

Contoh :
3). Tentukan nilai trigonometri dari :
a). $ tan 75^circ $
b). $ tan 15^circ $
Penyelesaian :
a). $ tan 75^circ $
gunakan : $ tan ( alpha + beta ) = frac{ tan alpha + tan beta}{1 – tan alpha tan beta } $
$ begin{align} tan 75^circ & = tan ( 45^circ + 30^circ ) \ & = frac{ tan 45^circ + tan 30^circ}{1 – tan 45^circ tan 30^circ } \ & = frac{ 1 + frac{1}{3} sqrt{3} }{1 – 1.frac{1}{3} sqrt{3} } \ & = frac{ 1 + frac{1}{3} sqrt{3} }{1 – frac{1}{3} sqrt{3} } . frac{3}{3} \ & = frac{ 3 + sqrt{3} }{3 – sqrt{3} } \ & = frac{ 3 + sqrt{3} }{3 – sqrt{3} } . frac{ 3 + sqrt{3} }{3 + sqrt{3} } \ & = frac{ 9 + 6sqrt{3} + 3 }{9 – 3 } \ & = frac{ 12 + 6sqrt{3} }{6 } \ tan 75^circ & = 2 + sqrt{3} end{align} $
Jadi, nilai $ tan 75^circ = 2 + sqrt{3} $

b). $ tan 15^circ $
gunakan : $ tan ( alpha – beta ) = frac{ tan alpha – tan beta}{1 + tan alpha tan beta } $
$ begin{align} tan 15^circ & = tan ( 45^circ – 30^circ ) \ & = frac{ tan 45^circ – tan 30^circ}{1 + tan 45^circ tan 30^circ } \ & = frac{ 1 – frac{1}{3} sqrt{3} }{1 + 1.frac{1}{3} sqrt{3} } \ & = frac{ 1 – frac{1}{3} sqrt{3} }{1 + frac{1}{3} sqrt{3} } . frac{3}{3} \ & = frac{ 3 – sqrt{3} }{3 + sqrt{3} } \ & = frac{ 3 – sqrt{3} }{3 + sqrt{3} } . frac{ 3 – sqrt{3} }{3 – sqrt{3} } \ & = frac{ 9 – 6sqrt{3} + 3 }{9 – 3 } \ & = frac{ 12 – 6sqrt{3} }{6 } \ tan 15^circ & = 2 – sqrt{3} end{align} $
Jadi, nilai $ tan 15^circ = 2 – sqrt{3} $

4). Jika diketahui $ sin 5^circ = x , $ , tentukan nilai dari :
a). $ sin 50^circ $
b). $ cos 65^circ $
c). $ tan 25^circ $
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ cos 5^circ , $ dan $ tan 5^circ $
Diketahui $ sin 5^circ = x rightarrow sin 5^circ = frac{de}{mi} = frac{x}{1} $
artinya sisi depan adalah $ x , $ dan sisi miring adalah 1, dengan pythagoras diperoleh sisi samping adalah $ sqrt{1-x^2} $ .
sehingga nilai : $ cos 5^circ = frac{sa}{mi} = frac{sqrt{1-x^2}}{1} = sqrt{1-x^2} , $ dan $ tan 5^circ = frac{de}{sa} = frac{x}{sqrt{1-x^2}} $
a). Nilai $ sin 50^circ $
$ begin{align} sin 50^circ & = sin (45^circ + 5^circ) \ & = sin 45^circ cos 5^circ + cos 45^circ sin 5^circ \ & = frac{1}{2} sqrt{2}. sqrt{1-x^2} + frac{1}{2} sqrt{2}. x \ & = frac{1}{2} sqrt{2}( sqrt{1-x^2} + x ) end{align} $
jadi, nilai $ sin 50^circ = frac{1}{2} sqrt{2}( sqrt{1-x^2} + x ) $

b). Nilai $ cos 65^circ $
$ begin{align} cos 65^circ & = cos (60^circ + 5^circ) \ & = cos 60^circ cos 5^circ – sin 60^circ sin 5^circ \ & = frac{1}{2}. sqrt{1-x^2} – frac{1}{2} sqrt{3} . x \ & = frac{1}{2} ( sqrt{1-x^2} – sqrt{3} x ) end{align} $
jadi, nilai $ cos 65^circ = frac{1}{2} ( sqrt{1-x^2} – sqrt{3} x ) $

c). Nilai $ tan 25^circ $
$ begin{align} tan 25^circ & = tan (30^circ – 5^circ ) \ & = frac{tan 30^circ – tan 5^circ }{1 + tan 30^circ tan 5^circ } \ & = frac{frac{1}{3} sqrt{3} – frac{x}{sqrt{1-x^2}} }{1 + frac{1}{3} sqrt{3} . frac{x}{sqrt{1-x^2}} } \ & = frac{frac{1}{3} sqrt{3} – frac{x}{sqrt{1-x^2}} }{1 + frac{1}{3} sqrt{3} frac{x}{sqrt{1-x^2}} } . frac{3}{3} \ & = frac{ sqrt{3} – frac{3x}{sqrt{1-x^2}} }{3 + frac{sqrt{3} x}{sqrt{1-x^2}} } end{align} $
jadi, nilai $ tan 25^circ = frac{ sqrt{3} – frac{3x}{sqrt{1-x^2}} }{3 + frac{sqrt{3} x}{sqrt{1-x^2}} } $

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *