Sifat Sifat Limit Fungsi

          Untuk memudahkan dalam menentukan nilai limit suatu fungsi, kita butuh yang namanya sifat-sifat limit fungsi. Sifat-sifat limit fungsi merupakan suatu teorema yang digunakan dalam menyelesaikan limit suatu fungsi. Untuk menyelesaikan limit suatu fungsi ada berbagai cara, salah satu adalah dengan substitusi yang akan kita gunakan pada artikel kali ini. Silahkan juga baca materi “pengertian limit fungsi“.

Menyelesaikan limit dengan cara substitusi

       Cara substitusi maksudnya langsung nilai $ x , $ kita substitusi ke fungsi $ f(x) $. Contohnya : $ displaystyle lim_{x to a } f(x) = f(a) $

Contoh :
1). Tentukan nilai limit dari bentuk berikut :
a). $ displaystyle lim_{x to 2 } 2x + 1 $
b). $ displaystyle lim_{x to -1 } frac{x^2 + 2}{2x – 1 } $
Penyelesaian :
a). $ displaystyle lim_{x to 2 } 2x + 1 = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 $
artinya nilai $ displaystyle lim_{x to 2 } 2x + 1 = 5 $

b). $ displaystyle lim_{x to -1 } frac{x^2 + 2}{2x – 1 } = frac{(-1)^2 + 2}{2(-1) – 1 } = frac{1 + 2 }{-2-1} = frac{3}{-3} = -1 $
artinya nilai $ displaystyle lim_{x to -1 } frac{x^2 + 2}{2x – 1 } = -1 $

Sifat-sifat Limit Fungsi

       Berikut sifat-sifat limit fungsi :
i). $ displaystyle lim_{x to a } k = k , $ dengan $ k , $ adalah konstanta.
ii). $ displaystyle lim_{x to a } k f(x) = k displaystyle lim_{x to a } f(x) $
iii). $ displaystyle lim_{x to a } [f(x) pm g(x) ] = displaystyle lim_{x to a } f(x) pm displaystyle lim_{x to a } g(x) $
iv). $ displaystyle lim_{x to a } [f(x). g(x)] = left( displaystyle lim_{x to a } f(x) right) left( displaystyle lim_{x to a } g(x) right) $
v). $ displaystyle lim_{x to a } frac{f(x)}{g(x)} = frac{ displaystyle lim_{x to a } f(x) }{displaystyle lim_{x to a } g(x) } $
vi). $ displaystyle lim_{x to a } [f(x)]^n = left[ displaystyle lim_{x to a } f(x) right]^n $
vii). $ displaystyle lim_{x to a } sqrt[n]{f(x)} = sqrt[n]{displaystyle lim_{x to a } f(x) } $

Contoh :
2). Tentukan nilai limit fungsi berikut dengan menggunakan sifat-sifat yang ada,
a). $ displaystyle lim_{x to 2 } 5 $
b). $ displaystyle lim_{x to 3 } 2x^3 $
c). $ displaystyle lim_{x to 1 } x^2 + x $
d). $ displaystyle lim_{x to -1 } x^2 – 3x $
e). $ displaystyle lim_{x to -2 } x^3.x^2 $
f). $ displaystyle lim_{x to 3 } frac{x^2 – 1}{x + 1} $
g). $ displaystyle lim_{x to 2 } (2x^2 + 3)^9 $
h). $ displaystyle lim_{x to 3 } sqrt[3]{ x^2 – 1 } $
Penyelesaian :
a). $ displaystyle lim_{x to 2 } 5 = 5 $

Baca juga  Contoh Soal dan Penyelesaian Limit Fungsi dengan Dalil L'Hospital atau Turunan

b). $ displaystyle lim_{x to 3 } 2x^3 = 2 . displaystyle lim_{x to 3 } x^3 = 2. 3^3 = 2. 37 = 74 $

c). $ displaystyle lim_{x to 1 } x^2 + x = ….. $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 1 } x^2 + x & = displaystyle lim_{x to 1 } x^2 + displaystyle lim_{x to 1 } x \ & = 1^2 + 1 \ & = 1 + 1 = 2 end{align} $

d). $ displaystyle lim_{x to -1 } x^2 – 3x = ….. $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to -1 } x^2 – 3x & = displaystyle lim_{x to -1 } x^2 – displaystyle lim_{x to -1 } 3x \ & = displaystyle lim_{x to -1 } x^2 – 3.displaystyle lim_{x to -1 } x \ & = (-1)^2 – 3.(-1) \ & = 1 + 3 = 4 end{align} $

e). $ displaystyle lim_{x to -2 } x^3.x^2 = ….. $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to -2 } x^3.x^2 & = displaystyle lim_{x to -2 } x^3 . displaystyle lim_{x to -2 } x^2 \ & = (-2)^3 . (-2)^2 \ & = -8 . 4 = -32 end{align} $

f). $ displaystyle lim_{x to 3 } frac{x^2 – 1}{x + 1} = ….. $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 3 } frac{x^2 – 1}{x + 1} & = frac{ displaystyle lim_{x to 3 } x^2 – 1}{ displaystyle lim_{x to 3 } x + 1} \ & = frac{ displaystyle lim_{x to 3 } x^2 – displaystyle lim_{x to 3 } 1}{ displaystyle lim_{x to 3 } x + displaystyle lim_{x to 3 } 1} \ & = frac{ 3^2 – 1 }{ 3 + 1 } \ & = frac{ 8 }{ 4 } = 2 end{align} $

g). $ displaystyle lim_{x to 2 } (2x^2 + 3)^9 = ….. $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 2 } (2x^2 + 3)^9 & = left( displaystyle lim_{x to 2 } 2x^2 + 3 right)^9 \ & = left( displaystyle lim_{x to 2 } 2x^2 + displaystyle lim_{x to 2 } 3 right)^9 \ & = left( 2. displaystyle lim_{x to 2 } x^2 + displaystyle lim_{x to 2 } 3 right)^9 \ & = left( 2. 2^2 + 3 right)^9 \ & = left( 8 + 3 right)^9 \ & = left( 11 right)^9 end{align} $

h). $ displaystyle lim_{x to 3 } sqrt[3]{ x^2 – 1 } = ….. $
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 3 } sqrt[3]{ x^2 – 1 } & = sqrt[3]{ displaystyle lim_{x to 3 } x^2 – 1 } \ & = sqrt[3]{ displaystyle lim_{x to 3 } x^2 – displaystyle lim_{x to 3 } 1 } \ & = sqrt[3]{ 3^2 – 1 } \ & = sqrt[3]{ 8 } = 2 end{align} $

Baca juga  Contoh Soal dan Pembahasan Limit Tak Hingga

Catatan : Untuk menyelesaikan limit, bisa langsung substitusi saja tanpa harus dipecah menggunakan sifat-sifat yang ada karena hasilnya juga sama.
Contoh :
$ begin{align} displaystyle lim_{x to 3 } sqrt[3]{ x^2 – 1 } = sqrt[3]{ 3^2 – 1 } = sqrt[3]{ 8 } = 2 . end{align} $

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *