Soal dan Pembahasan Ekspansi Binomial Newton

Diketahui bentuk binomial $ (3a + b)^{50} , $. Temukan koefisien dari suku yang berbentuk $ a^{26}b^{24} , $ dan terletak pada suku ke berapakah suku tersebut.

Penyelesaian :
Untuk Teori Dasar Penyelesaian dan Rumus Binomial Ini Anda harus Baca: Materi Ekspansi Binomial
Bentuk $ (3a + b)^{50} , $ , bisa diketahui $ n = 50 $.
Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} , $ sehingga sama dengan $ a^{26}b^{24} $.
$ begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} end{align} $.

Dari persamaan diatas diperoleh : $ k – 1 = 24 rightarrow k = 25 $.
Artinya bentuk $ a^{26}b^{24} , $ adalah suku ke-25.

#Menentukan koefisien suku ke-25 dengan $ k = 25 $ dari bentuk $ (3a + b)^{50} , $
$ begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}x^{k-1} & = C_{(25-1)}^{50} (3a)^{50-(25-1)}(b)^{25-1} \ & = C_{24}^{50} (3a)^{26}(b)^{24} \ & = C_{24}^{50} 3^{26}a^{26}b^{24} end{align} $.

Jadi, koefisien dari bentuk $ a^{26}b^{24} , $ adalah $ C_{24}^{50} times 3^{26} $.

#Soal 2

Diketahui $ left( x – frac{1}{x} right)^{2016} , $ . Tentukanlah suku yang memuat bentuk $ x^{16} , $ dan tentukan juga besar koefisien suku itu.

Penyelesaian :
Bentuk $ left( x – frac{1}{x} right)^{2016} , $ , kita ketahui $ n = 2016 $.

Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} , $ sehingga sama dengan $ x^{16} $.

Bentuk $ left( x – frac{1}{x} right)^{2016} = left( x + (- frac{1}{x} ) right)^{2016} , $ artinya $ a = x , $ dan $ b = – frac{1}{x} = -x^{-1} $.

$ begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = x^{16} \ x^{2016-(k-1)}left( -x^{-1} right)^{k-1} & = x^{16} \ x^{2017-k} . (-1)^{k-1} . left( x^{-1} right)^{k-1} & = x^{16} \ (-1)^{k-1} . x^{2017-k} . left( x right)^{1-k} & = x^{16} \ (-1)^{k-1} . x^{(2017-k)+(1-k)} & = x^{16} \ (-1)^{k-1} . x^{2018 – 2k} & = x^{16} \ end{align} $.

Dari persamaan di atas didapat : $ 2018 – 2k = 16 rightarrow k = 1001 $.

jaadi $ x^{16} , $ adalah suku ke-1001.
Sekarang kita tentukan koefisien suku ke-1001 dengan $ k = 1001 $ dari bentuk $ left( x – frac{1}{x} right)^{2016} , $

$ begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(1001-1)}^{2016} (x)^{2016-(1001-1)}(-x^{-1})^{1001-1} \ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(-x^{-1})^{1000} \ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x^{-1})^{1000} \ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x)^{-1000} \ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016 + (-1000)} \ & = C_{1000}^{2016} x^{16} end{align} $.

Baca juga  Soal-Pembahasan Menentukan Hasil Bagi dan Sisa pada Polinomial (suku banyak)

Jadi, koefisien dari $ x^{16} , $ tersebut adalah $ C_{1000}^{2016} $.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *