Soal dan Pembahasan Koordinat Kutub dan Koordinat Cartesius

         Koordinat suatu titik dapat disajikan dalam bentuk koordinat kutub dan koordinat cartesius. Koordinat kutub sangat berguna salah satunya dalam ilmu astronomi. Koordinat kutub juga bisa digunakan untuk membuktikan rumus identitas trigonometri, serta rumus jumlah dan selisih sudut perbandingan trigonometri. Untuk memudahkan mempelajari materi koordinat kutub dan koordinat cartesius , sebaiknya kita pelajari dulu materi “Nilai Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran“, “Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku“, “Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran“, dan “Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi“.

Hubungan koordinat kutub dan koordinat cartesius

       Koordinat kutub merupakan koordinat yang ada pada cartesius yang terletak pada suatu lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 , $ , sehingga koordinat kutub ditulis berdasarkan jari-jari lingkaran ($r$) dan sudut yang dibentuk terhadap sumbu X positif.
Misalkan koordinat cartesius titik A adalah ($x,y$), dan koordinat kutub titik A adalah ($r, alpha$), hubungan kedua titik adalah :
                         $ x = r cos alpha , , $ dan $ , y = r sin alpha $ .

*). Berikut ilustrasi gambarnya

$clubsuit $ Langkah-langkah mengubah koordinat menjadi koordinat cartesius :
Langsung gunakan hubungan : $ x = r cos alpha , , $ dan $ , y = r sin alpha $
$ clubsuit $ Langkah-langkah mengubah koordinat cartesius menjadi koordinat kutub :
(i). Menentukan jari-jari ($r$) dengan pythagoras $ , r^2 = x^2+y^2 $
(ii). Menentukan besar sudut dengan salah satu rumus :
$ sin alpha = frac{y}{r} , $ atau $ cos alpha = frac{x}{r}, , $ atau $ tan alpha = frac{y}{x} $
(iii). Untuk kuadrannya, ada empat kemungkinan :
1. $ x , $ positif dan $ y , $ positif , ada di kuadran I,
2. $ x , $ negatif dan $ y , $ positif , ada di kuadran II,
3. $ x , $ negatif dan $ y , $ negatif , ada di kuadran III,
4. $ x , $ positif dan $ y , $ negatif , ada di kuadran IV

Contoh :
1). Nyatakan koordinat kutub titik A($8,30^circ $) ke dalam koordinat cartesius!
Penyelesaian :
*). Diketahui titik $ A (r , alpha ) = (8,30^circ $
artinya $ r = 8 , $ dan $ alpha = 30^circ $
*). Menentukan koordinat cartesiusnya :
$ x = r cos alpha = 8 cos 30^circ = 8 . frac{1}{2}sqrt{3} = 4sqrt{3} $
$ y = r sin alpha = 8 sin 30^circ = 8 . frac{1}{2} = 4 $
Jadi, koordinat cartesiusnya adalah $ A(4sqrt{3}, 4) $

Baca juga  Berapakah Nilai Sin 15 Derajat?

2). Nyatakan koordinat cartesisu berikut kedalam koordinat kutub :
a). titik B($ 3, 3sqrt{3} $)
b). titik C($ -sqrt{3}, 1$)
Penyelesaian :
a). titik B($ 3, 3sqrt{3} $)
artinya $ x = 3 , , $ dan $ , y = 3sqrt{3} $
*). Menentukan jari-jari ($r$) :
$ r = sqrt{x^2 + y^2 } = sqrt{3^2 + (3sqrt{3})^2 } = sqrt{9 + 27 } = sqrt{36} = 6 $
*). Menentukan sudut dengan rumus : $ cos alpha = frac{x}{r} $
$ cos alpha = frac{x}{r} rightarrow cos alpha = frac{3}{6} rightarrow cos alpha = frac{1}{2} rightarrow alpha = 60^circ $
Karena nilai $ x , $ positif dan $ y , $ positif, maka titik B ada di kuadran I dengan sudut $ 60^circ $
Jadi, koordinat kutubnya adalah $ B (6, 60^circ) $ .

b). titik C($ -sqrt{3}, 1$)
artinya $ x = -sqrt{3} , , $ dan $ , y = 1 $
*). Menentukan jari-jari ($r$) :
$ r = sqrt{x^2 + y^2 } = sqrt{(-sqrt{3})^2 + (1)^2 } = sqrt{3 + 1 } = sqrt{4} = 2 $
*). Menentukan sudut dengan rumus : $ sin alpha = frac{y}{r} $
$ sin alpha = frac{y}{r} rightarrow sin alpha = frac{1}{2} rightarrow alpha = 30^circ $
Karena nilai $ x , $ negatif dan $ y , $ positif, maka titik C ada di kuadran II ,
Sehingga sudutnya : $ 180^circ – 30^circ = 150^circ $
Jadi, koordinat kutubnya adalah $ C (2, 150^circ) $ .

Jarak dua titik koordinat kutub

       Untuk menghitung jarak dua titik koordinat kutub, caranya menggunakan jarak dua titik pada koordinat cartesius. Artinya kita harus mengubah dulu koordinat kutub menjadi koordinat cartesius. Untuk jarak dua titik koordinat cartesius, silahkan baca materi “Jarak Dua Titik dan Titik ke Garis“.

Menentukan jarak titik A($r_1, theta _1$) dan titik B($r_2, theta _2$) ,
*). Koordinat cartesiusnya adalah :
$ A(r_1, theta _1) rightarrow x_1 = r_1 cos theta _1 , , y_1 = r_1 sin theta _1 rightarrow A(r_1 cos theta _1,r_1 sin theta _1) $
$ B(r_2, theta _2) rightarrow x_2 = r_2 cos theta _2 , , y_2 = r_2 sin theta _2 rightarrow A(r_2 cos theta _2,r_2 sin theta _2) $
*). Jarak titik A($x_1, y_1$) dan titik B($x_2,y_2$) :
$ begin{align} text{jarak } & = sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 } \ & = sqrt{(r_2 cos theta _2- r_1 cos theta _1)^2 + (r_2 sin theta _2 – r_1 sin theta _1)^2 } \ & = sqrt{ r_1^2 + r_2^2 – 2r_1.r_2 . cos ( theta _2 – theta _1) } end{align} $
Sehingga jarak titik A($r_1, theta _1$) dan titik B($r_2, theta _2$) adalah
$ begin{align} text{jarak } = sqrt{ r_1^2 + r_2^2 – 2r_1.r_2 . cos ( theta _2 – theta _1) } end{align} $

Baca juga  Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga

Contoh :
3). Tentukan jarak titik A($3,160^circ $) dan titik B($4, 100^circ$)!
Penyelesaian :
*). Diketahui titik-titik
$ A(r_1, theta _1) = (3,160^circ ) , $ dan $ B(r_2, theta _2) = (4, 100^circ) $
*). Jarak kedua titik adalah :
$ begin{align} text{jarak } & = sqrt{ r_1^2 + r_2^2 – 2r_1.r_2 . cos ( theta _2 – theta _1) } \ & = sqrt{ 3^2 + 4^2 – 2.3.4. cos ( 160^circ – 100^circ ) } \ & = sqrt{ 9 + 16 – 24. cos 60^circ } \ & = sqrt{ 25 – 24. frac{1}{2} } \ & = sqrt{ 25 – 12 } \ & = sqrt{ 13 } end{align} $
Jadi, jarak kedua titik adalah $ sqrt{ 13 } , $ satuan panjang.

Pembuktian rumus jarak dua titik koordinat kutub :

*). Gunakan beberapa persamaan :
identitas trigonometri : $ sin ^2 A + cos ^2 A = 1 $
Rumus selisih sudut : $ cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B $
*). Pembuktian rumusnya :
$ begin{align} text{jarak } & = sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 } \ text{jarak }^2 & = (x_2-x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2 \ text{jarak }^2 & = (r_2 cos theta _2- r_1 cos theta _1)^2 + (r_2 sin theta _2 – r_1 sin theta _1)^2 \ text{jarak }^2 & = (r_2 ^2 cos ^2 theta _2 – 2r_1r_2 cos theta _2 cos theta _1 + r_1^2 cos ^2 theta _1) \ & + (r_2 ^2 sin ^2 theta _2 – 2r_1r_2 sin theta _2 sin theta _1 + r_1^2 sin ^2 theta _1) \ text{jarak }^2 & = r_2 ^2 ( sin ^2 theta _2 + cos ^2 theta _2 ) + r_1 ^2 ( sin ^2 theta _1 + cos ^2 theta _1 ) \ & – 2r_1r_2 (cos theta _2 cos theta _1 + sin theta _2 sin theta _1 ) \ text{jarak }^2 & = r_2 ^2 . ( 1 ) + r_1 ^2 . ( 1 ) – 2r_1r_2 (cos ( theta _2 – theta _1 ) ) \ text{jarak }^2 & = r_1^2 + r_2^2 – 2r_1.r_2 . cos ( theta _2 – theta _1) \ text{jarak } & = sqrt{ r_1^2 + r_2^2 – 2r_1.r_2 . cos ( theta _2 – theta _1) } end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ begin{align} text{jarak } = sqrt{ r_1^2 + r_2^2 – 2r_1.r_2 . cos ( theta _2 – theta _1) } end{align} $

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *