Soal dan Pembahasan Terkait Waktu Paruh untuk Menentukan perbadingan Massa A dan B Saat T

Soal:

Waktu paruh zat A adalah 3 hari dan waktu paruh zat B adalah 4 hari, jika sewaktu-waktu jumlah zat A sama dengan 2 kali jumlah zat B maka:

  1. Saat 10 hari berapa kali lipatkah jumlah A terhadap B?
  2. Kapankah kedua zat memiliki jumlah yang sama?

Pembahasan untuk pertanyaan a:
Saat 10 hari berapa kali lipatkah jumlah A terhadap B?

Formula untuk menghitung jumlah zat yang tersisa $(N_t)$ pada saat $T$ satuan waktu dengan waktu paruh $t_{1/2}$ dan jumlah zat mula-mula $N_o$ adalah:
begin{align*}
N_t = N_o left(frac{1}{2} right )^{frac{T}{t_{1/2}}}
end{align*}
Dalam soal dituliskann sewaktu-waktu, ini berarti ada saatnya A akan memiliki jumlah sama dengan 2B, kapankah ini terjadi? Waktu paruh A = 3 hari dan B = 4 hari, maka akan terjadi jika T = 12 hari. 12 ini merupakan KPK dari angka 3 dan 4 (waktu paruh A dan B). Jadi pada saat T = 12 hari ini, jumlah A12 = 2B12.

Untuk menghitung perbandingan A dan B saat 10 hari kita boleh menghitung perbandingan A dan B mula-mula. Ini dapat ditentukan memanfaatkan informasi bahwa saat 12 hari A12 = 2B12 tadi.

begin{align*}
A_{12} & = A_o left(frac{1}{2} right )^{frac{12}{3}}\
A_{12} & = A_o left(frac{1}{2} right )^4
end{align*}
begin{align*}
B_{12} & = B_o left(frac{1}{2} right )^{frac{12}{4}}\
B_{12} & = B_o left(frac{1}{2} right )^3
end{align*}
begin{align*}
frac{A_{12}}{B_{12}}&=frac{2}{1}\
frac{A_o left(frac{1}{2} right )^4 }{B_o left(frac{1}{2} right )^3 }&=frac{2}{1}\
frac{A_o }{B_o }left({frac{1}{2}}right )^1 &=frac{2}{1}\
frac{A_o }{B_o } &=frac{4}{1}
end{align*}
Dari persamaan tadi diperoleh perbandingan jumlah zat mula-mula adalah $A_o=4B_o$

Berikutnya perbandingan A dan B saat 10 hari dapat dihitung.
begin{align*}
frac{A_{10}}{B_{10}}&=frac{A_o left(frac{1}{2} right )^{frac{10}{3}}}{{B_o left(frac{1}{2} right )^{frac{10}{4}} }}\
frac{A_{10}}{B_{10}}&=frac{4B_o left(frac{1}{2} right )^{frac{10}{3}}}{{B_o left(frac{1}{2} right )^{frac{10}{4}} }}\
frac{A_{10}}{B_{10}}&=4frac{ left(frac{1}{2} right )^{frac{10}{3}}}{{ left(frac{1}{2} right )^{frac{10}{4}} }}\
frac{A_{10}}{B_{10}}&=4 left(frac{1}{2} right )^{frac{10}{3}-frac{10}{4}}\
frac{A_{10}}{B_{10}}&=4 left(frac{1}{2} right )^{frac{40-30}{12}}\
frac{A_{10}}{B_{10}}&=4 left(frac{1}{2} right )^{frac{10}{12}}\
frac{A_{10}}{B_{10}}&=4 times 0,561\
frac{A_{10}}{B_{10}}&=2,244 \
end{align*}
Jadi pada saat 10 hari jumlah $A = 2,244 times B$

Baca juga  Aspek dan Sifat Biologi Unsur Golongan VA

Pembahasan untuk pertanyaan b:
Kapankah kedua zat berjumlah sama?

Ketika zat berjumlah sama jika nilai $A_T = B_T$ dengan kata lain perbandingan keduanya adalah 1 : 1. Ingat pula jumlah zat mula-mula $A_o = 4B_o$.
begin{align*}
frac{A_{T}}{B_{T}}&=frac{A_o left(frac{1}{2} right )^{frac{T}{3}}}{{B_o left(frac{1}{2} right )^{frac{T}{4}} }}\
frac{1}{1}&=frac{4B_o left(frac{1}{2} right )^{frac{T}{3}}}{{B_o left(frac{1}{2} right )^{frac{T}{4}} }}\
1&=4frac{ left(frac{1}{2} right )^{frac{T}{3}}}{{ left(frac{1}{2} right )^{frac{T}{4}} }}\
frac{1}{4}&= left(frac{1}{2} right )^{frac{T}{3}-frac{T}{4}}\
frac{1}{4}&= left(frac{1}{2} right )^{frac{4T-3T}{12}}\
left({frac{1}{2}}right )^2&= left(frac{1}{2} right )^{frac{T}{12}}\
2&=frac{T}{12}\
T&=24
end{align*}
Jadi kedua zat akan memiliki jumlah yang sama ketika $T = 24$ hari.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *