Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga

         Salah satu penggunaan trigonometri adalah menghitung besarnya sudut pada segitiga, menghitung panjang sisi-sisi segitga, dan luas segitiga. Kali ini kita mempelajari materi Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga. Prasyarat materi yang harus dikuasai sebelum mempelajari materi ini adalah “Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku“, “Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran“, dan “Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi“.

Aturan Sinus

Perhatikan segitiga berikut!

Dari gambar di atas, berlaku aturan sinus yaitu :
  $ begin{align} frac{a}{sin angle A} = frac{b}{sin angle B} = frac{c}{sin angle C} end{align} , $ atau $ , begin{align} frac{sin angle A }{a} = frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} end{align} $

Pembuktian Rumus aturan sinus :

*). Dari gambar (1a),
Segitiga ADC, $ sin A = frac{CD}{AC} rightarrow CD = AC sin A rightarrow CD_1 = b sin A $
Segitiga BDC, $ sin B = frac{CD}{BC} rightarrow CD = BC sin B rightarrow CD_2 = a sin B $
Dari panjang CD,
diperoleh $ CD_1 = CD_2 rightarrow b sin A = a sin B rightarrow frac{a}{sin angle A} = frac{b}{sin angle B} $
persamaan (i) : $ frac{a}{sin angle A} = frac{b}{sin angle B} $

*). Dari gambar (1b),
Segitiga AEB, $ sin A = frac{EB}{AB} rightarrow EB = AB sin A rightarrow EB_1 = c sin A $
Segitiga CEB, $ sin C = frac{EB}{CB} rightarrow EB = CB sin C rightarrow EB_2 = a sin C $
Dari panjang EB,
diperoleh $ EB_1 = EB_2 rightarrow c sin A = a sin C rightarrow frac{a}{sin angle A} = frac{c}{sin angle C} $
persamaan (ii) : $ frac{a}{sin angle A} = frac{c}{sin angle C} $

Dari pers(i) : $ frac{a}{sin angle A} = frac{b}{sin angle B} $ dan pers(ii) : $ frac{a}{sin angle A} = frac{c}{sin angle C} $
Diperoleh : $ frac{a}{sin angle A} = frac{b}{sin angle B} = frac{c}{sin angle C} $
Jadi, terbukti rumus aturan sinusnya.

Contoh :
1). Tentukan panjang AC pada segitiga berikut!

Penyelesaian :
*). Kita gunakan sudut A dan B untuk aturan sinusnya :
$ begin{align} frac{AC}{sin B} & = frac{BC}{sin A} \ frac{AC}{sin 60^circ} & = frac{4}{sin 45^circ} \ frac{AC}{frac{1}{2}sqrt{3}} & = frac{4}{frac{1}{2}sqrt{2}} \ frac{AC}{sqrt{3}} & = frac{4}{sqrt{2}} \ AC & = frac{4 sqrt{3} }{sqrt{2}} \ AC & = frac{4 sqrt{3} }{sqrt{2}} . frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} \ AC & = frac{4 sqrt{6} }{2} \ AC & = 2 sqrt{6} end{align} $
Jadi, panjang $ AC = 2 sqrt{6} $ .

2). Tentukan panjang AC pada segitiga ABC berikut.

Penyelesaian :
*). Menentukan besarnya sudut $ y^circ $ :
$ begin{align} frac{sin C }{AB} & = frac{sin A}{BC} \ frac{sin y^circ }{8} & = frac{sin 45^circ}{8sqrt{2}} \ frac{sin y^circ }{1} & = frac{frac{1}{2} sqrt{2}}{sqrt{2}} \ sin y^circ & = frac{1}{2} \ y^circ & = 30^circ end{align} $
*). Menentukan besarnya sudut $ x^circ $
$ begin{align} text{jumlah sudut segitiga ABC } & = 180^circ \ A + B + C & = 180^circ \ 45^circ + x^circ + 30^circ & = 180^circ \ x^circ & = 105^circ end{align} $
*). Menentukan panjang AC dengan aturan sinus
$ begin{align} frac{AC}{sin B } & = frac{AB}{sin C} \ frac{AC}{sin 105^circ } & = frac{8}{sin 30^circ} \ frac{AC}{sin 105^circ } & = frac{8}{frac{1}{2}} \ frac{AC}{sin 105^circ } & = 16 \ AC & = 16 sin 105^circ , , , , text{(gunakan kalkulator)} \ AC & = 16 times 0,9659 \ AC & = 15,4548 end{align} $
Jadi, panjang AC = 15,4548 .

Baca juga  Soal Dasar Turunan Trigonometri

Aturan Cosinus

Perhatikan segitiga berikut!

Dari gambar di atas, berlaku aturan cosinus yaitu :
$ begin{align} a^2 & = b^2 + c^2 – 2bc cos A \ b^2 & = a^2 + c^2 – 2ac cos B \ c^2 & = a^2 + b^2 – 2ab cos C end{align} $

Pembuktian Rumus aturan Cosinus :

Panjang $ AD = x , , $ maka panjang $ BD = c -x , , $ dengan $ AB = c $.
*). Perhatikan segitiga ADC,
$ cos A = frac{AD}{AC} rightarrow cos A = frac{x}{b} rightarrow x = b cos A , , $ …pers(i)
Pythagoras : $ CD^2 = AC^2 – AD^2 rightarrow CD^2 = b^2 – x^2 , $ ….pers(ii)
*). Perhatikan segitiga BDC,
Pythagoras : $ CD^2 = BC^2 – BD^2 rightarrow CD^2 = a^2 – (c-x)^2 , $ ….pers(iii)
*). Pers (i) dan pers(ii), panjang CD sama :
$ begin{align} CD^2 & = CD^2 \ b^2 – x^2 & = a^2 – (c-x)^2 \ b^2 – x^2 & = a^2 – (c^2 – 2cx + x^2) \ b^2 – x^2 & = a^2 – c^2 + 2cx – x^2 \ a^2 & = b^2 + c^2 – 2cx , , , , , text{[ substitusi pers(i) ]} \ a^2 & = b^2 + c^2 – 2c. b cos A \ a^2 & = b^2 + c^2 – 2bc cos A end{align} $
Diperoleh aturan cosinus pertama : $ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc cos A $ .

Untuk pembuktian dua aturan cosinus lainnya, cara hampir sama dengan pembuktian aturan cosinus pertama di atas.

Contoh :
3). Tentukan panjang sisi BC pada segitiga berikut!

Penyelesaian :
Berdasarkan aturan cosinus sudut A :
$ begin{align} BC^2 & = AC^2 + AB^2 – 2.AC.AB. cos A \ BC^2 & = 5^2 + 8^2 – 2.5.8. cos 60^circ \ BC^2 & = 25 + 64 – 80. frac{1}{2} \ BC^2 & = 89 – 40 \ BC^2 & = 49 \ BC & = sqrt{49} \ BC & = 7 end{align} $
Jadi, panjang BC = 7.

4). Tentukan panjang BD sari gambar berikut!

Penyelesaian :
*). Perhatikan segitiga ABC, menentukan BC dengan aturan sinus
$ begin{align} frac{BC}{sin A} & = frac{AB}{sin C} \ frac{BC}{sin 60^circ} & = frac{2sqrt{6}}{sin 45^circ} \ frac{BC}{frac{1}{2}sqrt{3}} & = frac{2sqrt{6}}{frac{1}{2}sqrt{2}} \ frac{BC}{sqrt{3}} & = frac{2sqrt{6}}{sqrt{2}} \ BC & = frac{2sqrt{6} . sqrt{3} }{sqrt{2}} \ BC & = frac{2sqrt{18} }{sqrt{2}} \ BC & = frac{2 . 3sqrt{2} }{sqrt{2}} \ BC & = 6 end{align} $
Diperoleh BC = 6.
*). Perhatikan segitiga BCD, menentukan BD dengan aturan cosinus
$ begin{align} BD^2 & = BC^2 + DC^2 – 2.BC.DC. cos angle BCD \ BD^2 & = 6^2 + 7^2 – 2.6.7. cos 60^circ \ BD^2 & = 36 + 49 – 2.6.7. frac{1}{2} \ BD^2 & = 36 + 49 – 42 \ BD^2 & = 43 \ BD & = sqrt{43} end{align} $
Jadi, panjang $ BD = sqrt{43} $

Baca juga  Soal-Jawab Mengubah Satuan Sudut (Radian dan Derajat)

5). Tentukan panjang sisi-sisi segitiga berikut!

Penyelesaian :
*). Aturan cosinus pada sudut P
$ begin{align} QR^2 & = PR^2 + PQ^2 – 2.PR.PQ . cos P \ (2sqrt{x+2})^2 & = (x-1)^2 + (x+1)^2 – 2.(x-1).(x+1) . cos 60^circ \ 4(x+2) & = (x^2 -2x + 1) + (x^2+2x+1) – 2.(x^2 – 1) . frac{1}{2} \ 4x + 8 & = (2x^2+2) – (x^2 – 1) \ x^2 -4x -5 & = 0 \ (x+1)(x-5) & = 0 \ x = -1 vee x & = 5 end{align} $
Karena panjang segitiga selalu positif, maka yang memenuhi adalah $ x = 5 $
Sehingga, panjang sisi-sisi segitiga adalah :
$ x-1, , x+1, , 2sqrt{x+2} rightarrow 4, , 6, , 2sqrt{7} $
Jadi, sisi-sisi segitiga adalah $ 4, , 6, , $ dan $ , 2sqrt{7} $

Luas Segitiga dengan Fungsi Trigonometri
Perhatikan gambar segitiga ABC berikut,

Rumus Luas Segitiga yang melibatkan sudutnya adalah :

Luas segitiga ABC $ , = frac{1}{2}.b.c. sin A $
Luas segitiga ABC $ , = frac{1}{2}.a.c. sin B $
Luas segitiga ABC $ , = frac{1}{2}.a.b. sin C $
Rumus luas di atas memberikan hasil yang sama, tergantung sudut yang diketahui.

Pembuktian Rumus Luas segitiga

Perhatikan segitiga ADC : $ sin A = frac{t}{b} rightarrow t = b sin A $
Luas segitiga ABC :
$ begin{align} text{ Luas segitiga ABC } & = frac{1}{2} times text{ alas } times text{ tinggi} \ & = frac{1}{2} times AB times CD \ & = frac{1}{2} times c times t \ & = frac{1}{2} times c times b sin A \ & = frac{1}{2} c b sin A end{align} $
Jadi terbukti rumus luas pertama, rumus luas segitiga berikutnya juga pembuktiannya mirip dengan di atas.

Contoh :
6). Tentukan luas segitiga ABC berikut!

Penyelesaian :
$ begin{align} text{ Luas ABC } = frac{1}{2}AC.AB.sin A = frac{1}{2}.6.8 . sin 30^circ = frac{1}{2}.6.8 . frac{1}{2} = 12 end{align} $
Jadi, luas segitiga ABC adalah 12 satuan luas.

Luas Segitiga Diketahui ketiga sisinya
Untuk menghitung luas segitiga yang diketahui ketiga sisinya, rumusnya disebut rumus Heron. Perhatikan segitiga berikut.

Luas segitiga ABC adalah $ begin{align} L = sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} end{align} $
dengan $ s = frac{1}{2}(a+b+c) = frac{1}{2} times text{ (keliling segitiga ABC)} $

Baca juga  Cara Menyelesaikan Persamaan Trigonometri dan Contoh Soal

Pembuktian Rumus Heron :

*). Pada segitiga ABC berlaku aturan Cosinus sudut A
$ a^2 = b^2 + c^2 – 2bc cos A rightarrow cos A = frac{b^2 + c^2 – a^2 }{2bc} , $ ….pers(i)
*). Bentuk pemfaktoran : $ P^2 – Q^2 = (P+Q)(P-Q) $
*). Identitas Trigonometri : $ sin ^2 A + cos ^2 A = 1 rightarrow sin ^2 A = 1 – cos ^2 A $
*). Menentukan bentuk $ sin A , $ dari pers(i), pemfaktoran, dan identitas
Serta misalkan : $ s = frac{1}{2}(a+b+c) $
$ begin{align} sin ^2 A & = 1 – cos ^2 A \ sin ^2 A & = (1 – cos A )(1 + cos A ) \ & = left(1 – frac{b^2 + c^2 – a^2 }{2bc} right) left(1 + frac{b^2 + c^2 – a^2 }{2bc} right) \ & = left( frac{2bc – b^2 – c^2 + a^2 }{2bc} right) left( frac{2bc + b^2 + c^2 – a^2 }{2bc} right) \ & = left( frac{-(b-c)^2 + a^2 }{2bc} right) left( frac{(b+c)^2- a^2}{2bc} right) \ & = left( frac{ a^2 -(b-c)^2 }{2bc} right) left( frac{(b+c)^2- a^2 }{2bc} right) \ & = left( frac{ (a-b+c)(a+b-c) }{2bc} right) left( frac{(b+c-a)(b+c+a) }{2bc} right) \ & = frac{ (a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a) }{4b^2c^2} \ & = frac{ (a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) }{4b^2c^2} times frac{4}{4} \ & = frac{ 4(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) }{2.2.2.2.b^2c^2} \ & = frac{4}{b^2c^2}. left( frac{a+b+c}{2} right) left( frac{b+c-a}{2} right) left( frac{a+c-b}{2} right) left( frac{a+b-c}{2} right) \ & = frac{4}{b^2c^2}. left( frac{a+b+c}{2} right) left( frac{b+c+a – 2a}{2} right) left( frac{a+c+b-2b}{2} right) left( frac{a+b+c-2c}{2} right) \ & = frac{4}{b^2c^2}. left( frac{a+b+c}{2} right) left( frac{b+c+a}{2}-a right) left( frac{a+c+b}{2} -b right) left( frac{a+b+c}{2} -c right) \ sin ^2 A & = frac{4}{b^2c^2}. left( s right) left( s-a right) left( s -b right) left( s -c right) \ sin A & = sqrt{ frac{4}{b^2c^2}. left( s right) left( s-a right) left( s -b right) left( s -c right) } \ sin A & = frac{2}{bc}sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } end{align} $
*). Luas segitiga ABC menggunakan sudut A :
$ begin{align} L & = frac{1}{2}.AB.AC. sin A \ & = frac{1}{2}.c.b. frac{2}{bc}sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \ & = sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } end{align} $
Jadi, terbukti luas segitiganya.

Contoh :
7). Tentukan luas segitiga berikut!

Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ s $ :
diketahui nilai $ a = 6, , b = 4, , c = 8 $
$ s = frac{1}{2}(a+b+c) = frac{1}{2}(6 + 4 + 8 ) = 9 $
*). Luas segitiga menggunakan rumus Heron.
$ begin{align} L & = sqrt{ s (s-a)(s-b)(s-c) } \ L & = sqrt{ 9. (9-6)(9-4)(9-8) } \ L & = sqrt{ 9. 3.5.1 } \ L & = 3sqrt{ 15 } end{align} $
Jadi, luas segitiga ABC adalah $ 3sqrt{ 15 } , $ satuan luas.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *